(接上一帖) 四、对忍兄这次所提主要问题,严格说来,几乎都可以在小书中找到答案。但我仍然愿意对其主要部分再回答一次。 问:运用跷跷板原理是否可以预言魔方的一切状态? 答:那是一定的。请读第八章第一至四节。白纸黑字,有假包换! 问:跷跷板原理有何用? 答:仅以小书的内容为例:第一,我用跷跷板原理证明了我在第二章所给的开解法的完备性,也就是说,证明了我的开解法足以开解任何被转乱的鲁毕克魔方,除此以外不需要别的转动。(我不知道忍兄是否整理过你的开解法,如果已整理出来,最好也做出符合逻辑规范的完备性的证明)。 第二,我用跷跷板原理证明了魔方表示定理,此定理把天文数字的错误组装化归为11种、最多涉及三个方块的基本类型。此外,引用这一定理还可以很简单地计算出鲁毕克魔方的组合数。 第三,在跷跷板原理的指导下,我运用组合论方法和公式,不须考虑错误组装数,径直计算出了组装正确的魔方的组合数。这里有必要更具体地指出一点,忍兄和乌兄曾就8个角块的组合数为什么是3^7而反复争论,我建议二位重读一下小书的第八章第一节,,在那里可以清楚地看到在跷跷板原理的约束下,我们怎样计算出了3^7。文字不长,也不艰深,不需要耗费很多的时间和脑力。 还须重复强调的是:如上所说,用跷跷板原理作指导,至少可以给出两种方向不同而又同样正确的魔方组合计算。 对于你98楼以后的帖子,初步的感觉是,你不太习惯公理化的方法,不大适应本书的数学思路。至于群论那一部分,只是一个简介,没有必要深究,不过我相信专业的数学家们极有可能正是用这种方法三下五除二算出了魔方的组合数。对他们来说这个问题太简单了。而一切学习过群论初步知识的人对此都不会感到困惑,所谓置换的奇偶性是群论中非常基本的概念,它差不多好像是为魔方量身定做的。 此外你又问:为什么看不到群论与向色和中心块的关系描述? 这个问题提得有水平。目前,我正在考虑建立一个描述中心块的群论的数学模型,且已经有腹稿。这个模型将与跷跷板原理相互独立:二者之间不能相互推出。此外,注意我在小书的结尾处说: 顺带指出,魔方中方块的扭转和翻转也可以转化为纯粹的群论问题去进行处理,但不能像处理置换这样简洁和直接。 这是因为色向问题不能直接表现为置换群(虽然按照群论中的凯来定理,一切有限群原则上都可以化归为置换群),但完全可以建立一种适合于魔方的组合群(这样的群我已经建立过,只作为自己赏玩)来将色向问题彻底群论化。很显然,这将陷入复杂的群论的游戏,不符合本书屏蔽群论的初衷(见该书前言)。(未完,见下一帖)
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