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对于每种魔方,下面几个基本问题都是可以问的。
1,如何判断一种状态是否可以实现?
2,总状态数是多少?
3,若把魔方拆了随机装回,能复原的概率是多少?(这个问题和结构有关)
等等。。。。
对于普通六轴三阶魔方,这些问题大家讨论得比较多了。
对于skewb,当然也是早已被讨论过的,但是我搜索了一下,发现我们的理论版好像还没有关于skewb的文章,所以就发个贴讨论讨论。
对于每种魔方,都思考一下以上的问题,也是一种乐趣。感兴趣的魔友,最好自己独立地思考一下。如果对普通6轴3阶魔方的这几个问题弄清楚了,对skewb来说,就是一个触类旁通的事情了。有skewb的朋友最好都思考一下,我发现一边摆弄魔方,一边思考其中的一些问题,的确是挺有意思的。
skewb一共有八个角块,六个中心。
八个角块有分为两组,每组四个。一组是和轴固定的,另外一组可以动。所有角块都有方向问题,每个角块有三个方向。而中心块则只有位置不同。
所以,如果我们以固定的四个角块为参照系(就像普通六轴三阶魔方的中心块是不动的一样),那么其余四个的位置有4!种可能,所有八个角块有3个方向,所以乘与3^8。中心块的位置有 6! 种可能。所以最多有
4!* 6!*3^8
种状态。
但是其中有些状态是不能够达到的。这些不可能出现的状态是由skewb的转法所决定的。
首先,相对于固定的四个角块,自由的四个角块的位置一定是偶置换。所以要除以2。
其次,角块的方向不是独立的。不过,skewb的角块方向和6轴3阶的角块方向有不同的规律。在6轴3阶魔方中,若用0,+1,-1分别表示角块当前的位置是正确,顺时针120度或者逆时针120度。则8个角块的方向数之和为0 (模3意义下,以下同)。换句话说,就是其中七个角块的方向是自由的,剩下一个由前七个的方向唯一决定。
对于skewb,我们类似地定义方向数,八个角块的方向数记为a1,a2, .... a8,对应于下图:
对于skewb,一般来说,所有角块方向数之和并不等于零。若八个角块全部归位,且1、2、3、4色向正确时,
5的色向决定7的色向,6的色向决定8的色向。
有这些限制,所以这里要除以9=3*3 (相当于真正独立的角块是6个,此时7、8号角块色向依赖5、6号)
具体的说,就是八个角块的相对位置正确时,必须有
a2+a4+a5+a7=0
a1+a3+a6+a8=0
最后,中心块相对于角块要是偶置换,所以又除以2。
综上所述,真正的状态数是:
4!* 6!*3^8 / (2*9*2)=3149280
同时,我们也说明了,拆开随意重装能还原的概率是1/36。
[ 本帖最后由 sokoban 于 2008-12-23 16:58 编辑 ] |
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