Bram几何——无jumble魔方的可能性探索

redcarrot

长文多图预警！本帖有超过12000字和50余张图片，有些图片暂时没设置好尺寸，手机看起来很费劲，且有电脑操作的内容，请酌情使用电脑查看。

2018年，TP博物馆总计收录了41个由著名设计师Oskar van Deventer设计的魔方。上次Oskar一年设计超过40个魔方，还要追溯到2010年。而在这41个魔方中，有足足14个的设计源头指向了一个帖子——Bram Cohen的“Making Nonjumbling Puzzles Great Again”。这14个魔方，每一个都极度不常规：7个平面魔方看似简单，实则与所有之前的平面魔方都差别颇大；7个三维的魔方中好几个更是让人一头雾水。

之前公众号推送新品速递的时候我就说过好几次要读……最后在年前差不多读完了，但是没写出来。

在大概三四个月前，我就动了阅读这个帖子、了解其中的设计理念的念头。然而，每次打开帖子，都会觉得头大，主要有这么几个原因：
1. 帖子的想法来源于一个更早的帖子：2015年Bram发表的“Non-jumbling puzzles”。然而，他又提到，最初的想法是他和另一位“魔方理论家”Brandon Enright一起吃烧烤的时候一同提出来的……于是，一些纯粹的想法和很多细节被省略了。
2. Bram特有的说话方式——一张图都没有，纯用语言描述脑中的图景。在最初让人一头雾水。
3. 仅有的几个有实物的例子也不是大家都熟悉的类型；另外，这一系列往往与“Deeper-than-origin”有联系，单从图片上很难看出切割的整体。
4. 主要内容分布在2015、2017年的两个讨论串，以及诸多设计发布帖中，累计超过400层楼。而这类讨论串的通病是：存在一个探索的过程，概念从混乱到清晰，符号和语言的使用也在不断变化。讨论串的几个主要贡献者脑中的图景也有微小的差别，虽然他们互相能听懂。
5. 个人能力限制，不会3D建模，有些想法验证不了。看了很久之后才发现有模拟器的存在……

那么现在我就来大体依据时间顺序，来捋一捋这些奇特的设计。推荐阅读顺序：在第一部分之后，对数学感兴趣的读者可以先阅读附录一，对操作（电脑端）感兴趣的读者可以先阅读附录二，跳过直接阅读第二部分当然也可以。第三、四、五、六部分的联系不太大。后面第七部分和附录三可以随便看看……

本文的绝大部分内容都是对“Making Nonjumbling Puzzles Great Again”及相关帖子的内容整合，以及我自己的一些理解。也算给自己以后查询的一个“笔记”吧。

redcarrot

在2015年，各种jumble-only轴类已经初见峥嵘。Bram和Brandon希望能"复兴"非jumble的魔方--探索尚未被发现的非jumble轴类。他们把目光先聚焦在最简单的情形--（球面上）两个旋转轴的情形。为了分类这些轴类，显然，这两个旋转轴每次能旋转的角度，或者说"能转几下"是必须考虑的变量。然而，这两个量不能完全决定一种轴类，两个轴的夹角也必须考虑进来。例如，四面体转面、八面体转面、二十面体转面的魔方分别只考虑相邻两个轴，显然是完全不同的。

但是可能的"夹角"是无限的、连续的。我们希望转变思考的角度，来考虑某种离散的，甚至有限的量。暂时回到最普通的三阶魔方上，仅考虑两个相邻转动轴（U, R）。我们先将U面逆时针转动90度（转4下回到原位），再将R面逆时针转动90度（转4下回到原位）。这样，UFR角块回到了原地，但逆时针转动了120度，即1/3圈。这个1/3，就是我们需要找的第三个量，称作"角块类别"。我们把三阶魔方两个相邻旋转轴的轴类记为(4, 4, 1/3)。

一般的，我们想去考虑(A, B, C)类型的魔方。其中A, B是大于等于2的正整数，C是在0到1间的有理数。有两个旋转轴，分别每次转动1/A与1/B圈（360/A度(2pi/A)与360/B度(2pi/B)，pi是圆周率，以下常常会在角度和弧度制之中转化）。在两个轴分别逆时针转动1/A与1/B圈后，会有一种块回到原位，并逆时针转动了C圈。这种块称作"角块"，并不一定长得像三阶的角块。文中下面带引号的"角块"都是这个含义，有些图中会特别标记出来。

在进一步地讨论之前，我们先看看一些熟悉的几何在这种记号下是怎么标记的：
五魔方的相邻两个轴--(5, 5, 1/3)

（金氏）金字塔的相邻两个轴--(3, 3, 1/3)，下图是转角的，转面和转角对这个魔方没有差别。

转面八面体（FTO）的相邻两个轴--(3, 3, 1/2)
这个有必要多说一句：玩儿过FTO的读者想必都知道，虽然结构上看好像角块可以每次转90度，实际上每次只能转180度。图中转动的是绿红两个面。

转面二十面体的相邻两个轴--(3, 3, 3/5)（以mf8量产的二十面体一号为例）
不太容易看出来，这里的"角块"就是物理意义上的角块。

VeryPuzzle量产的Hex Shaper的相邻两个轴--(6, 6, 1/3)
这是一个"退化"的例子：它可以看作是在一个无限大的球面上，夹角为0度（平行）的两个轴。

这几个例子，可以说是相对平凡的。

事实上，在Bram的第一篇帖子之前，就已经有设计师从不同的思路出发，得到了一些结果，即"史前时代"的几个设计：
Timur的Biaxe--(4, 4, 1/5)

Timur的Trapentrix--(3, 3, 1/5)
它本质上是二十面体转面的一个子集，不是相邻的两个面

这两个魔方是Timur对Constellation Six系列的探索，以后有空可以专门说一说他的想法。
Oskar的Traheptrix--(3, 3, 1/7)

这是Oskar对上一个Timur的设计的发展。

很遗憾，2015年的讨论虽然引出了很多想法，却没有促使任何一个新魔方诞生。

在进一步探讨之前，我们还要明确一点：两个轴的夹角被(A, B, C)唯一确定。这一点Bram与Brandon在讨论之初就已经明确了，Brandon也给出过用于计算的代码。不过，比较简洁明确的表达式是William Kretschmer于2018年1月1日给出的，即：
(Will公式，得名于他的论坛名will_57)
(A, B, C)格式确定的两个轴的夹角为：
θ=arccos((cos(pi/A) * cos(pi/B) - cos(pi*C)) / (sin(pi/A) * sin(pi/B)))
计算的过程比较初等，可以用球面上的余弦定理，也可以用矩阵乘法结合矩阵的迹来计算。计算方式和一些讨论放在附录一中。

用公式的时候特别要注意：cos里面都是pi/A的形式，不是2pi/A，也就是说不是一个轴转动的角度！这也是推导中比较难想到的一部分。

在继续阅读之前，希望边读边动手操作的读者可以下载Diogo Sousa的模拟器，并选择性地阅读附录二的使用说明。
Bram\'s Sphere Renderer v2.part3.rar (1.78 MB, 下载次数: 54)

2019-2-15 11:47:21 上传

下载次数: 54

Bram\'s Sphere Renderer v2.part2.rar (2.2 MB, 下载次数: 36)

2019-2-15 11:47:14 上传

下载次数: 36

Bram\'s Sphere Renderer v2.part1.rar (2.2 MB, 下载次数: 140)

2019-2-15 11:47:06 上传

下载次数: 140

redcarrot

早在2015年，Bram就断言称(3, 4, 1/3)应该存在，他的原因是这是某种意义上(3, 3, 1/3)（金氏金字塔）和(4, 4, 1/3)（三阶魔方）的一个中间状态。

而在2017年5月，Bram就发出了 “Making nonjumbling puzzles great again”这个讨论串，然而因为说话过于抽象，并没有人理他……1个月后他冒了个泡，还是没人理他。一直到2017年圣诞节，Bram挂出了他画的(3, 4, 1/3)轴类的几张模拟图，这才引起了大家的兴趣。这个图中的魔方就被称为Bram’s Sphere。

很快地，几位擅长理论结合实践的设计师就给出了这个轴类的不同实现，块和切割深度略有差别：
2018年2月，Timur，Bygride-3-4
这个形状是一个截角的四方偏方面体，目的是在旋转过程中保持整体形状不变。


2018年3月，Carl Hoff，Triquad
和Bygride-3-4形状非常接近，切割深度略有差别。

2018年5月，Oskar，Bram’s Sphere
原始的球面魔方实现。

2018年8月，Oskar，Brammed Block
和Bram’s Sphere等价的一个转面几何体。


Bram’s Sphere所代表的的几何的最大特点就是，在用于定义的“角块”周围，有一圈看起来不太完整的切割。这些切割中的一些是没法在第一次转动下分开的，而是需要几次旋转才能分开。这样一开始分不开，转几下才能分开的切割被称为“Stored Cuts”（保留切割）。“保留切割”并不是一个新的概念，在捆绑魔方中随处可见，在一些jumble的魔方中，比如花瓣直升机增强版的小角或者太阳的棱边上也能看到。然而，Bram’s Sphere的保留切割是“非平凡”的：它是在非jumble（即doctrinaire）的魔方中的，但却不能通过进一步增加切割消除。这是Bram发现的这一族几何的最大特点。

在Bram’s Sphere诞生后，其他几位设计师也提出了自己的想法。例如，William Kretschmer和Carl Hoff对Bram’s Sphere与平面魔方的联系的分析等。Carl Hoff发现，3圆-4圆对应的平面魔方可以通过调整切割深度长得和Bram’s Sphere“几乎一样”，如下图：


那么从之前一些“平凡的”例子里，比如普通三阶魔方、三阶五魔方中，能否挖掘出这种特殊的几何呢？答案是肯定的，甚至是简单的——只要把两道切割取在不同的深度即可。以普通三阶魔方对应的几何为例，只要考虑一个五阶魔方，相邻的两个旋转轴一个只转一层，一个只转两层，并把不需要的切割线都去掉，就得到了一个“Bram 几何”。对其它的经典轴类也可以执行类似的操作。这样得到的“捆绑”解法绝不简单。



上图是Oskar做的实物Not Bandaged，其实用五阶魔方捆绑即可实现。

我们特别要注意的是，虽然Bram最初想探索的是有类似Bram几何的“局部角”的魔方，但(A, B, C)符号对应的是一个轴类，对切割深度并没有要求。于是，通过改变切割深度，可以得到许多不同的魔方。例如，(3, 4, 1/3)对应的这个也由Bram一开始提出的块数最少的形式：它有1个轴块，一个正方形中心块，5个等边三角形“角块”，还有6个长三角块。


再比如，“逆转”Bram’s Sphere的切割深浅，把原先的3面深切，4面浅切换成4面深切，3面浅切，就得到了Bram’s Sphere Inverted.（注意观察正方形中心的角对着的块-Bram’s Sphere对着的是三角块，而Bram’s Sphere Inverted对着的是四边形块——这表明二者确实不同。）


类似的，我们固定“1/3”这个量，会得到一系列局部看起来很相似，整体上有些差别的魔方，比如(4, 5, 1/3)（由grigr首先绘图）和(3, 5, 1/3)等。下一步，一个自然的问题就是，(A, B, 1/3)可取哪些A, B的值？



我们再来观察一下Will公式，在C取1/3的情形下，公式变为：
cosθ=(cos(pi/A) * cos(pi/B) – 1/2) / (sin(pi/A) * sin(pi/B)))
首先，由于A, B大于等于2，在(2, ∞)上，cos(pi/x)是单增大于0的，sin(pi/x)是单减大于0的，因此右式函数的增减性可以确定了。但arccos的定义域是[-1, 1]，因此需要右式函数值在[-1, 1]内。因为A, B取整数，我们也没必要精确地求解这个函数的定义域，只要找到“临界值”即可。

首先，A, B的地位在公式中是对称的，所以我们先固定A，假设A≤B，再来考察函数。
固定A=2。由于cos(pi/2)=0，分子就是-1/2，右式是关于B的单减函数。此时可能的取值有B=2, 3, 4, 5, 6，B=6的情形已经有右式等于-1，夹角为180度退化。
固定A=3，此时右式是关于B的单增函数，取B->∞的极限，得到极限值为右式=0，即任意大于等于3的B都是可能的取值。
固定A=4，右式关于B单增，且(4, 12)满足右式=1，因此4≤B≤12均可能。
固定A=5，B=5,6,7是解。
固定A=6，B=6是唯一解，且满足右式=1。
对于A大于等于6，B大于等于7的情况，由于(6, 6)已经使得右式=1，必然都不在定义域内，从而我们列举出了所有可能的取值，列表如下：

redcarrot

在上面的表格中，我们发现有一些“临界”状态：夹角退化为0度（(4, 12, 1/3), (6, 6, 1/3)）或180度（(2,6,1/3)）的情形，以及有一个B=无穷大（(3,∞,1/3)）的情形。这些看似比较荒谬、无法实现的临界点实则都能在平面，即“无限大的球面”上实现为奇特的魔方。

对于一般的(A, B, C)，首先考虑夹角为0的情形。我们回到Will’s Formula。此时，cos(pi/A) * cos(pi/B) - cos(pi*C)= sin(pi/A) * sin(pi/B)≠0。利用和差角公式，我们得到1/A+1/B=C，A, B<∞。这是判定轴类是否恰巧退化为二维平面魔方的一个充要条件。也就是说，我们这时可以构造出一些平面的、具有Bram的奇特几何的魔方。

由于我们最熟悉的“角块”是一种“1/3”块，我们还是先回到C=1/3的情形。(A, B)=(6, 6)是一个解，(A, B)=(4, 12)是另一个解。前者就是Hex Shaper对应的几何，通过之前的“变化切割深度”技术，在这里就是变化圆的大小和距离技术，或者也可以理解为高阶平面魔方的捆绑，就得到Weird Disk 6x6；后者可以得到Weird Disk 4x12。



类似的，如果取C=1/4，也可以得到(5, 20), (6, 12), (8, 8)三组解，前两个分别可以得到Weird Disk 5x20与Weird Disk 6x12，尚无实物。


然后考虑夹角为180度的情形。还是回到Will’s Formula，此时cos(pi/A) * cos(pi/B) - cos(pi*C)= -sin(pi/A) * sin(pi/B)≠0。利用和差角公式，不妨设1<A≤B，那么有1/A-1/B=C。在C=1/3时，(2, 6, 1/3)是唯一的解。

然而，我们要如何解读“在无限大的球面上夹角为180度”呢？有一个笑话或许能解释一下：给数学家和物理学家一些木头，叫他们搭建出一个篱笆围住尽量大的区域，物理学家会用掉所有材料建造一个大圆，而数学家会用很少的木头把自己周围围住，并定义自己在圆的外部——这个时候，整个地球除了这个小圆，剩下的区域都是被“围住”的。此时，这个小圆和“大圆”的圆心向量夹角就是180度。对于三维的情形，转动“大圆”是一个Deeper-than-origin的旋转；而对于平面的情形，就是说其中一个轴自然的转动是转动圆之外的所有部分。这么说似乎有点抽象，来看一个例子吧：Weird Disk 2x(-6)。


在这个平面魔方的还原状态下，有两种旋转：旋转中间圆，每次60度；旋转外圆，每次180度。一种观点是中间圆每旋转一次，解锁一个新的外圆；另一种观点就是只有两种旋转：抓住中间圆旋转外框以及旋转（固定的下面的）外圆。后一种观点就是“夹角为180度”的描述方法。在分析这个魔方的角块类别时特别要注意外框的旋转方向，应该看“外框逆时针旋转”作为正方向。

同样的，我们可以取C=1/4，此时有(2, 4)与(3, 12)两个解。后者Oskar也画过一个图：Weird Disk 3x(-12)（多画了几个3-圆）。


第三，我们来看一下B=∞的情形，(A, ∞, 1/A)对应的夹角为90度。此时，可以想象为一个巨大的球面（比如地球），它的两个半球面以赤道为界可以相互旋转（旋转轴指向两极），在接近赤道的位置又放了一些切割较浅的旋转轴（旋转轴近似指向赤道）。扩展到平面的情形，就是一个平移轴和一个与它相交的旋转圆。无限个平移轴可以简化为有限个（比如2个），平移轴与旋转圆相交的位置也可以变化来控制块的多少。目前做出成品的有(3, ∞, 1/3)与(4, ∞, 1/4)，分别命名为Weird Disk 3xInfinity与Weird Disk 4xInfinity。Oskar也画过A=5,6的模拟图，还没制作。





在Oskar制作的Weird Disk系列中，还有3个比较特殊的没有介绍过。第一个是Weird Disk 5x7。它是(5, 7, 1/3)轴类的产物，此时两个轴的夹角是26.16度，比较接近0，于是Oskar就把它也归入了Weird Disk的系列。同样我们可以“逆转切割深浅”，得到另一个Weird Disk 7x5。



第二个是Weird Disk 235。它是(2, 3, 1/5)轴类的产物，此时两个轴的夹角为159.09度，比较接近180度，可以实现为接近于平面的有一个Deeper-than-origin轴的魔方。于是Oskar就把它也归入了Weird Disk的系列。


最后一个则特殊的多：Mooshine，也称Weird Disk 2x(-5)。通过计算，我们知道它应该是属于(2, 5, 3/10)轴类的，但很明显并不存在“3/10角块”。它长得和改变切割深度的(2, 6, 1/3)轴类的魔方局部几乎一模一样，我猜测Oskar正是从那个魔方里找到的灵感。这样切割深度达不到“角块”产生条件的Bram几何称为“Shallower-than-corner”，浅于角块的切割。它在Bram几何中其实也很常见。

redcarrot

第四部分：其他的有实物的Bram几何
我们在第二部分中给出的几个实物魔方都是(3, 4, 1/3)轴类的。这一部分将介绍一些其它轴类的Bram几何的魔方。这些魔方中大多数都是相对“特殊”的：它们实际上是某种几何体（半正多面体）的两个面转面轴类。

事实上，(3, 4, 1/3)轴类本身就是正四角反棱柱夹角成钝角的两个面转面的轴类，这可以通过计算面的夹角来得到。这也解释了为什么截角四方偏方面体外形可以保持旋转后外形不变的原因——正四角反棱柱与四方偏方面体互为对偶多面体。

下面介绍的是一些已经存在实物的其它Bram几何的魔方：

1. (2, 3, 1/2)——Deeper-than-origin Prism
我们在之前没有提到过任何一个A或B等于2的（三维）魔方，原因是“2”是相对特殊的：转180度顺时针和逆时针是一样的。在讨论过程中，人们也一度认为A, B=2是不可能的情形。

事实上(2, 3, 1/2)是非常简单的：考虑大雁的三层五面体标准版，限制到2种操作：同时转上面两层、转侧面的一个面。此时的“角块”就是通常意义上的中层棱块。Oskar专门为此设计了结构，也就是下面的魔方。


2. (2, 3, 1/3)——Weird Cube
立方体转面（只能转180度）+转角的轴类，此时转角轴是Deeper-than-origin的，才能展现出“角块”。


3. (3, 4, 1/4)——Weirder Cube
同样是立方体转面+转角的轴类，虽然只是上一个魔方的“解绑”，但由于转面从每次180度变成了每次90度，转动的记号就产生了变化。但更加有趣的是，(2, 3, 1/3)对应的角度是125.26度，而(3, 4, 1/3)对应的角度是103.84度——变化之后的“角块”不再是“1/3角”，而是“1/4角”——(3, 4, 1/4)对应的角度同样是125.26度。但此时原先的“角块”不再是“角块”，切割深度不够深，不足以展现“1/4角”，即Shallower-than-corner。这一点设计师Oskar一开始也没搞清楚，后来才弄明白。


4. (2, 4, 1/3)——Very Deep Cube
立方体转面+转棱（夹角135度棱）轴类。为了展现“1/3角”，转面轴类使用了非常深的Deeper-than-origin切割。


5. (3, 5, 1/3)——Pseudo Chop
我们之前看到过这个轴类相对浅切的版本（第二部分中），这个则是双半切的版本——正十二面体转面+远端转角。这个结果非常漂亮。（像吃豆人Pac-Man，由Oskar本人认定）


6. (2, 3, 2/3)——Solver’s Chop & Modular Cube
这两个都是William Kretschmer在2017年的作品，立方体转面（只能转180度！虽然看上去像能转90度）+转角（注意，和Weird Cube转的不是同一个角），但并非为了实现Bram的几何所做，而是为了其它的原因：设计出具有奇怪群结构的魔方。而结果极为成功：足足4种奇怪的群出现了——这单独就足以写一整片文章了，不过这并不是重点。它们的角块是“2/3角”，也就是说，两个面分别逆时针旋转180度、120度后，物理意义上的一个角块会原地逆时针旋转2/3圈，也就是顺时针旋转1/3圈。这在所有的例子中是极为少见的。



虽然看似Oskar已经做了很多……但可以看到，其实相比于没实现的设计，实现了的不过是沧海一粟。

第五部分：(2, 2, C)系列的讨论
(2, 2, C)系列是一个很有趣的系列：按照Oskar的标准，它们事实上算不上魔方。自然，它们需要先“存在”才能讨论“算不算”的问题，我们先来看看它们应该长什么样子

首先还是代入Will公式算一下。cos(pi/2)=0, sin(pi/2)=1。此时右式的cos值就是-cos(pi*C)，那么两个轴的夹角就是pi*(1-C)。例如，(2, 2, 1/5)对应的夹角就是4/5*pi。这样的夹角很容易用棱柱侧面转面来实现。下面是Oskar、Carl Hoff、grigr等人画的一些模拟图：


其中，(2, 2, 1/2)实际上就是普通133捏着一个角只转其中2个2层转的产物，贯穿上下的中心块就是“角块”。他们选择了这些数字是因为如原版Bram’s Sphere的局部角块只在C的分母为奇数时似乎才能产生，其它的情形看起来更加常规一些。

那么为什么认为这些“算不上魔方”呢？因为它们都只有2个转动，且转动每次转180度。如果记这两个转动为a, b，那么所有的状态只能是a, ab, aba, abab……或者b, ba, bab, baba……换句话说，只要不停地两个轴交替转下去，就一定能够还原这个魔方。甚至，从某种意义上讲，这也是唯一的还原方法：无非是先从a或b开始所需旋转的长度不同罢了。不如看看最简单的例子，122的情形。即(2, 2, 1/2)的半切情形。此时，一共只有6个状态：a=babab，ab=baba，aba=bab，abab=ba，ababa=b以及还原态。

数学中的群论里有一个简单的结论：这样的魔方的旋转群一定是二面体群。群的阶数，也就是这些魔方的可能状态数，是应当关注的一个问题。Carl Hoff还提出了另一个问题：切割出的块数是多少？以及(2, 2, C)的状态数、块数能否写成C的显示表达式（闭式解）？这还是一个开放的问题，不过显然关注的人也不是很多……

redcarrot

第六部分：A, B的分数扩展及多种角块的“度数巧合”
在Will公式中，A, B在公式里被“除掉了”，而C在公式里被“乘上了”。这看起来有些不对称，因此，Will和后来加入的Nathaniel Virgo都提出，将这个符号改变一下，从(A, B, C)变成[1/A, 1/B: C]，冒号只是为了区分A, B与C的意义差别。例如，Bram的(3, 4, 1/3)轴类在新符号下就变成了[1/3, 1/4: 1/3]轴类。这样在新的[A, B: C]符号下，Will公式变为：
cos(θ)=(cos(pi*A) * cos(pi*B) – cos(pi*C)) / (sin(pi*A) * sin(pi*B)))

这样做看似有些画蛇添足，但实际上启发我们思考另一件事：A,B真的有必要是分子为1的数吗？在原先的(A, B, C)符号中，取A=5/2似乎不太好解释；但在[A, B: C]符号中，取A=2/5就说的清楚了。此时的意思就是说，以[2/5, 2/5: 3/5]为例，一个轴逆时针转动2*pi*A（144度），另一个轴逆时针转动2*pi*B（144度），会使得一种“角块”在复合转动下原地逆时针转动了2*pi*C （216度）。为什么举这个例子呢？因为这也是一个我们熟悉的轴类：半切转面五魔方Pentultimate取距离较远的两个轴，此时的大五边形块就是“角块”。通过切割深度变化，此时同样能做出类似Bram’s Sphere的局部角。


这种将A, B推广到分数的做法和方括号记号一样，同样是Nathaniel引入的，他做的第一个例子是[2/5, 1/3: 1/3]——这个时候局部看起来与Bram’s Sphere非常类似。

这样的想法自然也可以推广到平面的情形，例如：[2/9, 1/9: 1/3]。会产生一个新的“Weird Disk”：


我们甚至还能再做一些推广：A, B一定要取既约的分数吗？比如A取2/6会怎么样？我们可以这么解读：这个轴可以每次转2*pi*1/6=60度，但在另一个轴逆时针转2*pi*B后，只有转2*pi*2/6=120度才会有一种“角块”原地逆时针旋转。例如，[2/6, 1/4: 1/3]就是对Bram’s Sphere[1/3, 1/4: 1/3]的一种“解绑”，让旋转有了更多的可能。这时的魔方仍然是不jumble的。由于有人认为此时用分数线有点不合适，会将符号换成[2|6, 1|4: 1/3]，没有本质的差别。


我们在第四部分中提到了Weird Cube与Weirder Cube，囿于当时的整数限制，我们将其分别分类为了(2, 3, 1/3)与(3, 4, 1/4)。现在再回顾一下，前者在新记号下变为[1/2, 1/3: 1/3]，后者则是分类为[2/4, 1/3: 1/3]更好一些，因为“1/4角”并没有出现。但这个两个轴类度数的“巧合”启发我们一件事：是不是能找到一种几何，或者说一种夹角，使得同时出现两种“角块”呢？

答案是简单的，甚至简单的出乎意料：考虑一个三阶魔方，只转动相邻两个面的双层转（Uw, Rw），也就是Oskar的Deep Cube。这时的三阶角块还是[1/4, 1/4: 1/3]“角块”，而三阶棱块，或者说复三阶中的反棱块是一种[2/4, 1/4: 1/2]“角块”。


当然，这并不是唯一的例子。Nathaniel通过枚举较小的参数，找到了一系列“度数巧合”，不过它们并不一定能有切割深度使得两种“角块”同时存在。不过他通过尝试找到了其中几个的具体实现，如：
[2/4, 2/5: 2/5]与[1/4, 1/5: 1/4]


[2/7, 1/3: 3/7]与[3/7, 1/3: 1/2]


这些几何都复杂的多，多种角块的产生也非常有意思。Nathaniel给出的“度数巧合”列表如下：https://gist.github.com/nathanielvirgo/c0200d4f855c891eff2cb03d02974021，有兴趣的读者可以自己试着找到更多的例子。

第七部分：总结和遗留的问题
看到这里不知道大家是不是get到了Bram这类几何的点。事实上，它是基于jumble的两个条件来设计的：对于三维魔方，jumble的原因通常有两个：
1. 某一个面每次转动的度数不是360度的(0到1间的)有理数倍——所以A, B需要是有理数；
2. 虽然2个面的转动度数都是360度的(0到1间的)有理数倍，但相继逆时针转动后有某一种块原地转动了360度的360度的(0到1间的)无理数倍，这样相当于“永远无法解捆绑”——所以C需要是有理数。

但是，我们的计算只表明一种角块是满足无jumble的条件的，也就是说我们的计算只是必要条件。当切割足够深的时候，一些“Bram几何”仍然会展现出jumble的特性。甚至，William Kretschmer断言过，只有其中来自于正多面体和棱柱的轴类才无论多深的切割都不会jumble。（虽然我没弄懂这是为什么）

然而，Bram研究的目的本身就不是分类无jumble轴类，而是“在恰当的切割深度下哪些几何能够无jumble”。从这个角度看，这一次“旷日持久”的讨论是相对成功的。这个“恰当的”切割深度指的是“足够浅”，但在传统意义下不一定是浅切，甚至Deeper-than-origin切割是十分常见的，Very Deep Cube为了展现角块更是其中一道切割极深。

目前，这个讨论引发的未解决的问题有：
1. 我们的计算是否枚举了所有可能的“在恰当的切割深度下无jumble”的2个轴的轴类？即，“角块”是不是一个必须考虑的量？
2. 第五部分(2, 2, C)系列中，Carl Hoff提出的状态数与块数闭式解问题。
3. 第六部分中的同时有多种角块问题，能产生多种角块的“巧合角度”是否只有有限个解？
4. 在我们的计算中，“角块”尤为重要。那么，两个切割在何种深度下真正满足要求的“角块”才能出现？有没有闭式解（单纯用A, B, C表示）？Nathaniel似乎有一些结果，不过没有公开。
5. 这一类几何的转动群性质是不是会有许多特殊。

我们也有几个推广：
1. 对于“角度爆炸”的几何，例如，(5, 8, 1/3)，cos值约为1.10，这时通常的几何是不可能实现的。然而，数学上我们可以考虑一些负曲率的曲面，或者说双曲几何，比如说三维空间中的伪球面。我们能否借助柔性材料，在现实中实现一些足够接近平面的“虚拟设计”？
[1/5, 1/8: 1/3]

[2/5, 1/4: 2/3]

2. 这个思路能否推广，比如推广到两两相邻的三个或者更多的轴，连续转动一定角度后一种“棱块”回到原地并旋转一定角度，得到一些推广的几何？再比如，在jumble几何中，类似Bram’s Sphere的局部角块能否得到实现？如果能，有没有统一的刻画？

以Nathaniel Virgo为首，这些推广都有一定的研究，不过还没有形成气候。

redcarrot

附录一：Will公式的推导
Will公式的推导可以说是对大一水平的线性代数的应用。参与讨论的几位设计师用的方法略有不同，但都能得到相同的结果。Brandon Enright是第一个做计算的人，他直接将其用矩阵乘法表示出来，借助计算机运算得到所需的角度，但他没有得到闭式解（即Will公式的优美形式）；William Kretschmer得到了现在看到的公式形式，他利用SO(3)和SU(2)的关系，把三阶实矩阵的运算转化为二阶复矩阵的运算，进行了一定的简化；后来在Carl Hoff的提示下，William又对Will公式做了一些修正；Nathaniel Virgo的推导方法更加古典一点，用到了球面上的三角学（余弦定理），我没有仔细地想过。

我也试着推导了一遍，其实和Brandon的做法最接近，直接计算三维的矩阵运算。只不过做了一点简化：利用矩阵的迹。我们在下面的计算中采用的是(A, B, C)记号

大脑短路用word打了公式……于是又慢又费事儿还不好看，最后也只能截图发到这里……





现在和Will公式唯一的差别在于分子中的正负号。从数学上看，似乎取正负号都可以；但从实际上看，比如代入三阶轴类(4, 4, 1/3)，我们会发现得到的是负号。另外一个支持的证据就是θ=0的极限情形（退化情形）要想成立需要取负号。

事实上，限定只能取负号，我们并没有“损失太多”——由于cos⁡(pi-x)=-cos⁡x ，(A, B, C)取正号得到的夹角和(A, B, 1-C)取负号得到的夹角是一样的，因此我们并不会因为正负号的选取错过任何一个轴类。

另一个理解正负号的方法是，它们的“定义域”不同。即，负号的C取值范围是[0, 1)，正号的C的取值范围是[-1, 0)。也就是说，例如负号中的逆时针旋转2/3*2pi，就等价于正号中的逆时针旋转-1/3*2pi，即顺时针旋转1/3*2pi。换句话说，我们可以约定，逆时针旋转C取正，公式取负号；顺时针旋转C取负，公式取正号。正负号完成了cos函数不能区分两个方向旋转的职能。不过我觉得，比起约定C的绝对值总不大于1/2，可正可负，Will公式也分为正负两半，还是约定C在0,1之间，Will公式恒取负号方便一些。

第三种理解方式是依旧限制C的取值范围为[0, 1)。A, B, C都考虑逆时针时公式取负号，都考虑顺时针时公式取正号。即，三阶魔方U面逆时针旋转90度，然后R面逆时针旋转90度，然后UFR角块会逆时针旋转120度；U面顺时针旋转90度，然后R面顺时针旋转90度，然后UBR角块会顺时针旋转120度。这和上一种理解基本差别不大。

运算过程中由于矩阵的迹的性质（tr(AB)=tr(BA)），先转哪个旋转轴并不重要，会得到一样的结果，因此公式里A, B的地位也是对称的。正文中常常约定A≤B只是方便叙述。Oskar有时也用A, B的顺序表明哪个切割比较深。

然而我还有一些疑惑：利用夹角为0的极限情形和函数的连续性说明Will公式的正负号选取，这样严格吗？虽然并没有实例，但数学上真的阻止了一组(A, B, C)对应两个不同的夹角吗？能否证明或者否定？希望能有读者为我解惑。

redcarrot

附录二：Bram's Sphere Renderer的使用
这个切割模拟器是Diogo Sousa在2018年8月底写的。感谢他的这个软件，才让我这种不会任何3D建模软件的人也可以试着探索Bram几何。废话不多说，我们来看看这个模拟器是怎么使用的。其实是“傻瓜式”的操作，作者也写了说明，不过是英文的，还是说上两句。

如果双击打不开或者打开了一个压缩包，请右键-打开方式-java。没有安装过java的可以去官网下载安装。

这个模拟器可以调整的参数一共有11个拖动条，从上到下依次是：
Left Axis Symmetry Numerator: 左边轴(A)在(A, B, C)记号下A的分子。
Left Axis Symmetry Denominator: 左边轴(A)在(A, B, C)记号下A的分母，模拟前五部分的魔方都不用管这个参数。
Left Axis Depth Angle: 左边轴(A)的切割深度，用角度表示，指的是切割球冠的球心角的一半——范围是[0, 180]，90指的是半切的赤道切割（如二阶、斜转等，）(0,90)之中是通常的切割，(90, 180)之中是Deeper-than-origin（深过中心）的切割。这个记号是从Jaap著名的模拟器等一系列模拟器中继承过来的。
上右侧的带Right的三个拖动条是B的信息，同理。
Corner Symmetry Numerator: (A, B, C)记号下C的分子
Corner Symmetry Denominator: (A, B, C)记号下C的分母
Angle Type: 默认在Will公式中取负号，点击一下则取正号。具体参照附录一的讨论。
Import/Export: 导入/导出参数到txt。

下部的参数：
Iterations: 切割循环次数，默认为5。由于保留切割(stored cuts)不能直接转动，需要先转一下或者几下再把这些切割分开，这个变量就是指切出转几下能够打乱的那些保留切割。对于不jumble的魔方，在有限次切割后切割线不再增多；而对于jumble的魔方，切割线会无限地增加。对于比较大的A, B参数（特别是深度），建议一开始选择较少的循环次数，否则时间会很长。
Stroke Weight: 切割线的粗细，数越大线越粗。实际上作者并不是画了一条线，而是画了很多点。于是其实是在增加点的大小。
Resolution: 模拟的精度，数越大得到的图“分辨率”越高。实际上是增大点的密度。
Render：右下角的按钮，点击即可模拟。

鼠标操作：
左键拖动：旋转整个球的视角
滚轮：缩放
双击任意位置：恢复初始视角

一些特性/bug/不足：
1. 当选取的参数是“爆炸角度”时，球上什么都没有；当切割过于浅的时候，只会切出来两个小球冠，可以用来观察轴的指向。
2. 当半天都没反应的时候，很有可能是切割选的太深，导致过于细碎了。可以减小切割深度或者减少循环次数先试试看。另外，在模拟切割特别密的时候，整个软件都会变得特别慢，这时还想模拟别的可以先把参数调到简单的，比如初始的(3, 4, 1/3)，再模拟一下。这样后面操作起来会顺畅的多。
3. 我这里软件有2个bug：第一，不能最大化，最大化之后就黑屏了，还原也没用；第二，导入导出功能用不了。
4. 软件不能模拟退化的情形，即Weird Disk的平面情形，这是挺可惜的一件事。不过那样的参数确实差挺多的……

附录三：主要贡献人列表
这个系列不是一两位设计师拍拍脑袋想出来的，而是多位设计师共同协作，相互讨论，才形成了完整的体系。在这个过程中，主要做出贡献的有如下的9位设计师：
Brandon Enright：这一类魔方的先驱者，第一个用数值方法计算了一系列较为简单的例子的夹角。他也事实上首先注意到了Will公式的正负号问题。
Bram Cohen：将这一类魔方首先介绍到TP论坛，用“思想实验”代替计算预言了很多性质，指出了需要研究的方向。同时，也第一个模拟了(3, 4, 1/3)的Bram’s Sphere，吸引其他设计师关注这个话题。
Timur Evbatyrov：设计了“史前时代”的Biaxe与Trapentrix，并给出了新轴类(3, 4, 1/3)的第一个实物实现Bygride-3-4。
Evgeniy Grigoriev：在Bram与Brandon的第一次讨论中就get到了讨论的点，给出了一系列推广的设计；后来又在软件pCubes中编写了大量的该轴类的魔方模拟，让大家能与新的思路“互动”。
Carl Hoff：一直在参与讨论，指出了不少比较微妙的点，也包括Will公式的正负号问题。也设计并实现了(3, 4, 1/3)轴类的TriQuad。
Oskar van Deventer：第一个提出和模拟了平面退化情形的Weird Disk系列，制作出了大量实物；第一个模拟并实现了(2, B, 1/3)系列的几个魔方；还模拟和制作其他轴类的大量魔方。这些曾经让我一头雾水的实物也是我写这篇文章的动机。
William Kretschmer：第一个解出了(A, B, C)轴类对应夹角的闭式解公式；把在之前平面魔方的分析中的许多方法和结果与新轴类联系起来；第一个提出了[A, B: C]的新记号；在两次讨论之中制作的两个魔方可以被纳入本轴类的分析体系。
Diogo Sousa：编写了模拟本轴类魔方的java傻瓜式操作程序，让大众可以互动地体验到新轴类是什么样的，极大地推进了讨论的进程。
Nathaniel Virgo：后期入局，带来了很多新的想法：提出并模拟了A, B的分数情形，推动了[A, B, C]符号的使用；提出了“多种角块”的“度数巧合”并找到了一些解；提出并模拟了“爆炸角度”在负曲率曲面上的实现。

redcarrot

参考资料（按照TP论坛topic号升序）：
1. "Non-jumbling Puzzles"，2015年的老讨论串：http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=29225
2. "Analyzing circle puzzle groups"，和主要讨论串没有必然的联系，主要探索"从已知轴类出发得到的奇特群"。在最后几个回复里有关于正多面体产生的(A, B, C)轴类的特殊群的内容，本文没有提及：
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=31139
3. "From groups to circle puzzles"，和主要讨论串没有必然的联系，主要探索"从特定的群出发设计魔方"。回复中有一些关于(A, B, C)轴类与jumble的关系。
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=31806
4. "Making Non-jumbling Puzzles Great Again"，主要讨论串：
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=31829
5. "Traoctrix Geometry"，回复中首次出现了Will公式：
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=32731
6. "Bygride-3-4"，第一个(3, 4, 1/3)轴类的实物公布帖，回复中有一些讨论：
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=15&t=32965
7. "TriQuad"，TriQuad的设计过程帖，回复中有一些讨论：
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=9&t=32992
8. "Hyperbolic circle puzzles"，Nathaniel发的专门讨论伪球面上的Bram几何讨论帖：
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=33657
9. "Weird Disk 2xminus6 by OSKAR"，如题，回复中有Nathaniel的Weird Disk 4.5x9以及伪球面上Weird Disk 5x8的图片：
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=15&t=33974

图片来源：大部分来自于上面的那些帖子，黄色球面图片来自Bram，看起来更加立体的白背景灰色细线球面、平面黑白细线图来自Oskar，半透明粗线图片来自Nathanniel，白色背景实物图来自TP Museum和各种发布帖，深绿色背景截图来自pCubes，黑色背景截图来自Diogo Sousa的模拟器。

后记：
这篇真正意义上的"万字长文"真的准备了很久……单写作时间就超过了半个月，还不包括之前漫长的阅读时间，希望能为大家带来一些关于魔方的新认识吧。我对Bram几何的理解也不甚清晰，写了这么长，难免有些纰漏，望各位读者指正。当然，更加希望有朋友读完之后产生新的想法，做出新的魔方，或者解决尚未解决的问题。

魔方的世界中还有诸多神奇有趣的东西期待我们去探索，而探索的基础就是充分了解已经有的结果。在阅读帖子和写作这一篇的时候，我也顺带浏览了许多相关的讨论，一些讨论的长度甚至比这个还要长的多。例如，人们现在对三维魔方的jumble其实已经差不多心中有数了，对平面魔方的jumble反倒还是"一头雾水"，对此的讨论也有超过500楼。不过这次确实耗费了太多的精力，可能要过很久再看吧……

本文本来也想发到公众号的，貌似有点太长了。可能以后会发一个缩写版本到公众号。

ZJY

这个帖子可以当魔方专业的博士论文了