科普贴：关于高阶魔方的一些隐含性质

咖啡味的茶

块（奇数阶）：
1. 首先，一个奇数高阶魔方内含一个三阶魔方。这句话的意义是任何奇数阶魔方都含有三阶的角。棱和中心块。若不考虑非三阶块（把贴纸撕掉），那么这样的魔方则等价于普通三阶，并且非中层的内层转动对这样的魔方没有影响。
（对于偶数阶，对应的是二阶）
2. 对于非三阶块（包括棱和中心块），是没有“方向”的。也就是说，方向只有一种（复原位置即为复原方向）。也许有人会想到以下例子：五阶的翻棱（附件）
这种情况实际上是两个块位置互换的结果，对此质疑的魔友可以对两个块进行标号（A，B）进行验证。
3.同类块。所谓同类块就是可以进行互换的块，不同类则是不可以进行交换。比如7阶的所有角块都是同类的；再比如5阶的中心块中，可动的块分为两类，一类是处于对角线上的，另一类则是剩下的块（对于更大的魔方情况更复杂）。同类的块必定有相同颜色数目，但有相同颜色数目的块未必是同类。有一个判断是否为同类的方法是：若通过整体旋转魔方可以使得两个块重合，则这两个块是同类的；若不可以通过整体旋转魔方重合，也不是同类的。
4.等价块。实际上普通的高阶魔方隐含这这样一个性质：同色的同类块是等价的， 且只有中心块拥有等价块，因为具有相同颜色的同类棱颜色的手性是不同的，两者互为镜像。等价块之间的交换不影响魔方的状态，比如在五阶魔方中，同类的黄色角中心（对角线位置的黄色中心块）分别写为A，B，C和D。那么公式（A→B→C→D）则对魔方没有影响。等价块必定是一组四个。

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公式（奇数阶）：
1.所有公式都有一个周期，也就是说任何公式重复做有限次，都可以回到起始状态。这句话可以如此验证：假设一个公式f重复有限次无法回到初始（也就是f^k=f*…*f≠e，e是初始状态），那么f^k（k是正整数）则全为不同状态，否则两个相同的状态f^i=f^j,i>j，f^(i-j)=e。由于n阶魔方状态数是有限的，记为Xn（X3就是三阶魔方状态数），当k=1.。Xn。f^k取遍所有状态，而k=Xn+1时必有重复，矛盾。
2. 不考虑方向的话，把每一个块看做是一个点（更确切地说，考虑其几何中心），那么所有公式可以对应成一个（有限）置换。所谓置换，就是某点交换位置的一种数学结构。比如（123）的意义是1到2，2到3，3到1。所有魔方位置公式有以下性质：第一，所有点的交换必然在某一个环内，环的长度则是这个环经过的点数（比如（123）长度为3，（1243）为4）；第三，任何一个环只含有同类块，换句话说，只有同类块可以交换位置；第二，任何一个位置公式可以写为一个或者多个环的和（更确切地说，是不相交环的和）；第四，任何一个环的奇偶性是长度减一的奇偶性，比如3-环的奇偶性是偶，6-环的奇偶性是奇；第五，多环结构的奇偶性为个别环的奇偶性相加；第五，相交环的运算（f*g）可以通过置换运算完成（注意，相交环的运算顺序很重要）；第六，环1+环2的奇偶性为环1的奇偶性加上环2的奇偶性。
（注：位置公式仅仅是不考虑公式中对方向的影响，而不是不改变方向的公式，比如PLL）
3. 所有位置公式的置换奇偶性都为偶，因为其运算需满足置换运算，并且任意单步转动的奇偶性为偶。虽然整体奇偶性为偶，但是对于一类块的置换可以为奇。这句话的意义是，若只考虑某一类块的位置公式，那么这个环（或者多环）的奇偶性可以为奇。比如三阶T字公式中，角和棱的位置公式都是奇数（环长为2）。对于可以拥有奇置换的块类，必定存在其对偶块类，其置换奇偶性在任何公式必为相同。比如甲类块在某公式中的置换为奇，那么必定存在相应的乙类块，其置换也为奇。（T字公式中，角块和棱块互为对偶）。这个定理的推论是，不存在任何单独两个块交换而不影响剩下所有块的排列的公式。
注：有的块类不存在对偶块类（或者说对偶即为本身），这些块类在任何公式中的置换奇偶性为偶。
4.我们一般复原的高阶魔方实际上是一个简化，而普通的高阶魔方所有公式（或者说是状态）并不能组成一个群（对此数学名词我不给过多的阐述），这个简化的过程就是把等价块之间的排列不加考虑。换句话说，如果两个状态在等价块的存在下等价，那么算作一种情况。所以在用排列组合计算魔方状态时，每一组等价块的排列需除以简化常数4！。注意，前文关于置换的讨论是默认所有块都是不相同的。
其推论是，五阶的翻棱公式实际上不仅仅动了两个棱（否则交换为奇），而有其对偶块类（边中心块）也有一个2-环的置换。（只是由于同类块的存在，这样的环对魔方状态不影响）。
5.高阶魔方的三阶块的状态和三阶的状态一模一样。
6.高阶魔方某一类块的状态数通式为方向状态数×位置状态数。而位置状态数的通式为同类块数！/2（不存在对偶块时），或者同类块数！/√2（存在对偶块时）。
角的方向状态数是3^7，中棱的方向状态数是2^11，其余的块方向数为1。整体的状态数是所有类的乘积。最后，由于等价块的存在，需要除以简化常数24^k，k是等价类组的组数。

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偶数阶：
1.偶数阶可以认为是奇数阶的一种简化（去掉中层的贴纸）。由于其不存在定轴，实际上任何一种解的状态实际上是有24种（参考一阶魔方的状态）。其特殊情况：第一种，对棱换，实际上类似于空心魔方，是由于“中块”错位导致；第二种，单棱翻，与前文五阶棱翻类似。由于对偶类的消失（比如角块对偶为中棱，但是在偶数阶没有中棱），偶数阶存在奇置换。即使偶数阶存在奇数阶不存在的“特殊情况”，但实际解的难度不超过奇数阶。
2.偶数阶状态数也为满足通式方向状态数×位置状态数，位置状态数为而位置状态数的通式为同类块数！/2（不存在对偶块时），或者同类块数！（存在对偶块时），这里的对偶块是假想的，需考虑其+1的奇数阶是否存在对偶块。角的方向状态数继承与二阶，有3^7种。但由于旋转等价的存在，整体的状态数是所有类的乘积除以24。最后，由于等价块的存在，需要除以简化常数24^k，k是等价类组的组数。
最少步：
1.上帝之数，即任何状态解法的最短解法的上界，在不同的“步骤”定义下会由不同的结果。比如，对于三阶来说，90°转动算一步，上帝之数为26；若180°，90°都算作一步，那么上帝之数为20。对于高阶而言，这定义会更复杂：单步是转动某个单层，抑或是从某个单层算起的外层。
2.由于等价状态（奇数阶的等价块，偶数阶的旋转等价）的存在，所以最短解法是寻找某一状态的等价状态到复原态（以及其等价态）的最短解法，由于众多的等价状态的存在，令寻找最短解法变得更加困难。
3.上帝之数必须大于log(k)/log(z)，其中k是不同n阶的状态数，z是n阶不同步骤的数目。证明如下：考虑公式ABCDE…，每个字母代表不同或者相同的转动，每个字母的取值有z种，那么到第i步，至多包含z^i种状态（其中许多是相同的，比如RRRR或者LL’），z^i至少要比k大，否则根据抽屉原理，z^i无法覆盖k。

honglei

昨天试了一下2阶，结果出现了一种情况，schuma兄不肯剧透，让我自己想。
希望我自己能够想明白。

咖啡味的茶

honglei 发表于 2015-5-26 21:36
昨天试了一下2阶，结果出现了一种情况，schuma兄不肯剧透，让我自己想。
希望我自己能够想明白。

其实确实很简单的情况，我可以给出提示用g*f*g'*f'解决，其中‘的意义是逆公式。

广场的地摊

分享一个我在高阶组装过程中快捷方法 ，
对于偶（奇）数高阶组装时，对魔方的（中心块、12个中棱块、8个角块）8个角块的位置按照2阶（3阶）魔方位置先装好，其它零件安装时不必考虑颜色，反正魔方是要被复原的

楼主在1楼中提出了等价块和同类块也和这种组装方式也有很大的联系

ws570430477

辛苦你了。。。。

syh322

哎呦，这太高深了 ，一般业余玩家貌似不会去研究 不过还要说句 楼主 辛苦了！

深色伏特加

良心科普，不过有点略高深，一楼的不难理解，二楼的看着有点蒙

至尊达哥

honglei 发表于 2015-5-26 21:36
昨天试了一下2阶，结果出现了一种情况，schuma兄不肯剧透，让我自己想。
希望我自己能够想明白。

我只知道没还原的部分是角块，莫非四维有单角翻。。