三阶最远状态位于1980状态集中？

pengw

<P>抱歉，前一贴被我误删了，请乌兄及其它跟贴的同好谅解。 </P>
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<P>理由：任意一个转动都是二个四元置换，如果环大小相似，或碎得大小基本一致，那最小公倍数会很小，也即这种状态的公式应该很短，反之，则更长。是不是可以认为三阶最远状态位于1980状态集中？</P>
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[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-23 15:24 编辑 ]

乌木

<P>怪不得，原来是误删了。早上看到g老师跟帖说他用了一个什么软件得到公式F' R' F D' U' F' L' D2 L' B L B2 R' D2 F'，其循环周期为1980。还说此式仅15步，还不到20步，意思是最远态不会在其中。</P>
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<P>我验证下来，此式在全色三阶魔方上的循环周期确是1980，在纯色三阶上则为990，见下图。</P>
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<P>此外，我认为楼主问的是“……是不是可以认为三阶最远状态位于1980状态集中？”注意，是指“……状态集”，不是仅做一遍公式，故总的步数远远不止15步啊，步数是够多的了。所以，不能因为此式仅15步而说最远态如何如何，只能说做一遍的话，不可能出现最远态。</P>
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<P>那么，做1980遍的话，是否经过最远态呢？我就说不上来了。大家说说此题该怎么考虑？</P>
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<applet code="RubikPlayer.class" codebase=3 width="300" height="300">
  <param name="scrptLanguage" value="SupersetENG">
<param name="scrpt" value="(F' R' F D' U' F' L' D2 L' B L B2 R' D2 F')1 (F' R' F D' U' F' L' D2 L' B L B2 R' D2 F')988 (F' R' F D' U' F' L' D2 L' B L B2 R' D2 F')1">
<param name="scriptProgress" value="0">
</applet>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-2-23 20:14 编辑 ]

pengw

<P>明华理解有误，他找到的只是一个1980状态，我的意思是在三阶1980状态集中去寻找最远状态。</P>
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<P>“三阶最远状态位于1980状态集中”，意思是，1980状态不止一个，而是一个集，这个集中的状态与初态的最短路径并不全部等长，那么最长的最短路径对应的1980状态，就是初态的最远状态。这只是基于理由并不充分的推断得到的假定，还须要更准确的论证。</P>
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<P>如果三阶公式F的公式循环周期为1980，则F的循环公式及其相似变换公式应该也是1980，而F与其循环公式等长，所以更长的公式应该在F的排除循环公式的相似变换f+F+f~中去寻找。</P>
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<P>最小公倍数做为公式循环周期这一事实，对寻找最远状态是非常具有启发意义。进而可以推想到N阶，即“N阶最远状态位于N阶最大公式循环周期对应的状态集中”，注意这不是最终结论，而是有待精确证明的的猜想。</P>
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<P>我一楼提问的核心思想是，在三阶1980状态集中去寻找最远状态，这个集显然远远小于三阶状态数。进而可以推广到N阶。</P>
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<P>一句话，让状态开口说明什么是最远状态，而不是让公式开口。</P>
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[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-23 22:32 编辑 ]

pengw

<P>有些很隐密很根本很飘渺的思路正在开拓，这是一种美妙的感觉。不妨设计一个这种验证：将当今算出的最长公式拿去循环，分析这类公式的状态，也许有意想不到的收获。</P>

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-24 09:09 编辑 ]

pengw

经过这几天断断续继地思考，感觉从前的某些死结在松动，还说不清楚。

noski

不如先看看二阶，最远11步，共2644个状态。<BR>
pengw的基于N阶定律的二阶的公式最大循环周期为45。<BR>
比如这个操作：后- 右- 后- 下2 后- 下+ 右+ 下- 后+ 下2 右+，可以达到一个最远状态。而这个公式的循环周期为2。<BR>
不知是否对楼主的思路理解有误，不过若N阶成立，二阶也得成立才对。

乌木

<P>且不说满足重复周期为1980的态有不少；也不说其中任一态和初态之间的路线有不少（这些不同长度的路线涉及到做1980遍时出现的态总数多少不一）；就说最远态的数目也是很多的，是一批，不是一个。它们和初态的距离是一样的，只是具体路线各不相同。最远态不是不能再继续走，问题是它们再走哪怕一步，就要么属于“下树”，要么与某一上代态同态而要被消去。</P>
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<P>本帖所说的“三阶最远状态位于1980状态集中”，指最远态之一还是最远态之若干甚至最远态之全部呢？</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-2-24 21:53 编辑 ]

乌木

那么，该公式就不是那种重复周期为45的公式（G），即，该公式只是到达最远态的公式之一而已。这个最远态是不是与G有关的“45状态集”中的一个？也得另外证明。本帖话题好像只是说“45状态集”中有最远态，与noski兄说的问题有所不同吧？

noski

也是，套用在二阶上面，楼主没说最远状态都在45状态集中，而是在45状态集中可能找到最远态。不过6楼那也算一个反例了吧。

乌木

我想不算反例吧？“45态集”中有许多态，其中有的离初态近，有的远。冬兄说其中还有最远态。你6楼说的那个最远态可能在某一“45态集”中，也可能不在其中，我想。不能因为那个公式的重复周期仅仅为2，而说有了什么矛盾了。那公式做一遍后得到的最远态，再做一遍又回到初态，这情况和本帖话题是两回事，我觉得。本帖说的是有个公式G，其重复周期为45，其步数不知，暂时也不一定要知道。G也不止一个。在做45遍某个G的过程中，出现一大批态，冬兄认为其中有最远态。不是说做一遍G就得到最远态。6楼那个公式显然不是G。