各种囚犯问题(第1,2,4(1)已解出)

superacid

1.对100个囚徒，法官给每个囚徒指派一个1到100之间的编号，不同的囚犯编号可能会重复。每个囚徒知道别人的编号，但是不知道自己的。然后法官给每个囚徒一次机会猜测自己的编号。现在的提问是：如果发编号之前，囚犯可是商量一个对策，有什么策略能保证至少有一个囚徒能猜对自己的编号？
2.100个囚犯，每个人头顶上有一个黑帽子或者白帽子，至少有一个黑帽子，每个人可以看到其他人帽子的颜色却看不到自己的，监狱长先让大家看看别人头顶上戴的是什么帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就拍手，第一次关灯没有声音，第二次也没有，一直到第5次，才有声音响起，问有多少人带着黑帽子？
3.(1)有100个囚犯分别关在100间牢房里。牢房外有一个空荡荡的房间，房间里有一个由开关控制的灯泡。初始时，灯是关着的。看守每次随便选择一名囚犯进入房间，但保证每个囚犯都会被选中无穷多次。如果在某一时刻，有囚犯成功断定出所有人都进过这个房间了，所有囚犯都能释放。游戏开始前，所有囚犯可以聚在一起商量对策，但在此之后它们唯一可用来交流的工具就只有那个灯泡。他们应该设计一个怎样的协议呢？
(2)大家都知道房间里的灯泡一开始是不亮的。如果灯泡的初始状态并不确定，问题有解吗？
(3)在以上协议中，只有一个人能知道所有人都来过房间。是否存在一个协议，使得最终可以产生两个人，他们都知道所有人都进过房间？如果存在这样的协议，给出一个来；如果不存在，证明之。为了方便思考，你可以暂时假设初始时房间的灯泡不亮。
(4)还是100个囚犯，还是一个空房间，还是要求所有囚犯事先构造一个协议，能保证有人可以断定出所有人都来过房间。不过，这次不同的是，房间里有两个灯泡，分别由两个开关来控制（不妨假设初始时他们都是不亮的）。大家估计要说了，一个灯泡都能解决的事儿，用两个灯泡还不容易？嘿嘿，这次有一个附加的要求：所有人都必须遵循同一套策略。
4.(1)100个囚犯从前往后坐成一列。坐在最后面的那个囚犯能够看到其余99个囚犯，坐在最前面的那个囚犯啥也看不见。看守给每个囚犯戴上一顶黑色的或者白色的帽子。然后，看守会从后往前依次叫这些囚犯猜测自己头顶上的帽子的颜色。如果哪个囚犯猜对了，他就自由了。坐在前面的每一个囚犯都可以听到后面的囚犯的猜测。如果这100个囚犯事先可以商量好一种策略，那么最理想的策略是什么？
(2)无穷个囚犯面向数轴的正方向依次就座，第i个囚犯坐在数轴上坐标为i的地方，他可以看见所有坐标大于i的囚犯头顶上的帽子。看守给每个囚犯戴上黑色或白色的帽子，然后依次叫每个囚犯猜测自己头上的帽子颜色，猜对了的予以释放。另外一点和原来不同的是，囚犯们不能听到其他人的猜测。另外注意到，由于每个人前面都有无穷多个人，因此囚犯们无法通过数他前面的人数来判断出自己的位置，于是我们不得不加上一句：每个人都知道他后面有多少人（即他是第几个被问的）。同样地，事先所有囚犯可以商量出一个策略,它可以保证除了有限个囚犯之外，其他囚犯全部释放！你能想出这个策略吗？
5.典狱长要和100个囚犯玩这么一个游戏。典狱长给每个囚犯发两个手套，一个黑色的，一个白色的。之后，每个囚犯的额头上都会写上一个实数，所有这100个实数互不相同。每个囚犯都能看到其他99个囚犯前额上所写的数，但不能看到自己的数。接下来，每个囚犯必须独立地决定把哪个手套戴在哪只手上。等到所有囚犯都戴好了手套，典狱长会把他们按照前额上所写的数从小到大地排好，并要求他们手牵着手站成一横排。如果每两只握在一起的手都戴着相同颜色的手套，那么所有100个囚犯都可以被释放。在游戏开始前，他们可以聚在一起，商量一个对策。游戏开始后，囚犯与囚犯之间不允许有任何交流。囚犯们能够保证全部释放吗？

rubik-fan

看了第一个，先说说1、不清楚怎么猜测的。囚徒是否可以知道别人猜测的号码是多少，如果可以，大家都猜测张三的号码。张三自然就知道自己的号码了。

liuliuliu789123

典狱长不好当啊！要何等的智商啊！

勇闯魔界

囚犯也不好当啊 除了受刑 还要接受智力测试

godtm

第一个问题我想是：“如果看到有重复号的话，举手示意一下”这样如果没有举手的，大家就都知道没有重复的，就知道自己的编号了，如果有举手的，就说明有重复的，那样没举手两个人就号码一样，所以他们就知道编号了

rubik-fan

原帖由 godtm 于 2010-11-29 16:34 发表
第一个问题我想是：“如果看到有重复号的话，举手示意一下”这样如果没有举手的，大家就都知道没有重复的，就知道自己的编号了，如果有举手的，就说明有重复的，那样没举手两个人就号码一样，所以他们就知道编号了

你的解法默认了一个条件，就是大家坐在一起猜，或者说猜测者可以看到别人的动作。
那么完全可以这样：开始商量好，大家都用手势做出张三的号码。
轮到张三猜测的时候，他看别人的手势就可以了。

rcsgqty

占位思考……

godtm

原帖由 rubik-fan 于 2010-11-29 16:41 发表

你的解法默认了一个条件，就是大家坐在一起猜，或者说猜测者可以看到别人的动作。
那么完全可以这样：开始商量好，大家都用手势做出张三的号码。
轮到张三猜测的时候，他看别人的手势就可以了。

那是我想的简单了。
如果不能做手势的话，那只有第一个人报出别人头上的数字（当然他会报重复最多的人的数字），然后所有人都重复报这个数字，总有能“猜”对了的
如果第一个人看到没有重复的数字，就知道自己的数字了，那他就报自己的数字，这样大家就都知道没有重复的了，那所有人就都“猜”对了。

另外，第二题，第几次关灯就有几个人符合要求，所以是5
4（1）想到了，是不是第一个猜的人猜人数多的帽子颜色，然后其他人都猜这一颜色，这样可以让大多数人猜对？

[ 本帖最后由 godtm 于 2010-11-29 16:55 编辑 ]

夜半猫叫

原帖由 godtm 于 2010-11-29 16:49 发表
那是我想的简单了。
如果不能做手势的话，那只有第一个人报出别人头上的数字（当然他会报重复最多的人的数字），然后所有人都重复报这个数字，总有能“猜”对了的
如果第一个人看到没有重复的数字，就知道自己的数 ...

猜的过程不是所有人一起进行的，猜的过程是和典狱长一起进行的
除了一开始的交流之外，所有人就不能再获取信息了

味道

有什么策略能保证至少有一个囚徒能猜对自己的编号？  这个简单，大家都猜一个号   肯定至少有一个猜对的