[原创]基于N阶定律的广义公式循环原理:第二版(完成于西藏)

pengw

基于N阶定律的广义公式循环原理

        忍冬  

-------------------------------------------

1. 知识准备
对N阶定律及其约束的状态有透彻理解
2. 变换定义
对一个步长为N的公式,从特定方位作用于魔方,这个公式在同一方位重复一定次数后,魔方又回到初始的状态,这就是公式循环.
3. 变换问题
显而易见,任何一个公式重复一定次数后,魔方状态都可以回到初态,一些公式重复几次后就循环了,一些公式可能重复很大的次数,都没有循环,因此玩家一般关心以下问题:
*一个特定公式要重复多少次,受影响的所有块才能回到初态
*有没有一个方法能够计算出循环次数,而不用手工去试
答案是肯定,下面将对这个问题进行分析,并给出答案
4. 变换分析
4.1. 公式分析
4.1.1. 循环本质
公式每循环一次,都对魔方上特定位置的块造成相同的影响,使的一些块相互换位,一些块改变色向或二者兼有.这些现象正是我们基于状态计算公式循环周期的依据.
4.1.2. 公式无关
一个公式执行结果产生一个状态,同一状态可由不同公式产生.因此,基于状态分析计算的公式循环周期是适用于产生同一状态的所有公式.所以,我们可以丢开公式的具体形式从纯状态的角度计算公式循环周期.
由于存在这样的公式,在公式未执行完时状态就重复了,因此,公式循环周期内可能出现多次初始状态重复.
4.1.3. 状态影响
为了简化讨论,我们从一个复原的魔方开始讨论,特定步长的公式第一次作用于复原的魔方后,魔方的状态可能有以下变化:
*生成了一些环,这些环可能大小(指环包含的块数)不等,环的色向和可能是零或不为零.
*一些中心块转了90度,或180度.
*一些中棱块在原位改变了色向
*一些边角块在原位改变了色向

4.1.4 特殊循环

如果一个公式在复原魔方上执行完一次后,魔方仍然是复原状态,这种公式循环周期定义为1,本文在此只讨论周期大于1的公式循环.
4.2. 状态变化
4.2.1. 环
*对于无向色块组成的环,环的循环周期为环的块数
*对于中棱块环,如果环内块的色向和为零,则环的循环周期为环的块数,否则为环的块数乖色向参数2
*对于边角块环, 如果环内块的色向和为零,则环的循环周期为环的块数,否则为环的块数乖色向参数3
4.2.2. 色向参数
边角块环的每一个块的色向始于基态,如果每个块经历环内每个位置时,色向改变之和与基态色向相同,则块的变换周期与块数相同,如果色向改变之和与基态色向不同,只有二种种情况,块顺转或逆转了一次,由边角块色向性质可知,环中所有块要经历三个周期才能回到基态色向,这就是边角块环色向参数3的由来,同理,边棱块环的色向参数2的确定原理与边角块环相同.
确定色向参数最简单的方法就是第一次使用公式后,将环中块的色向相加,如果为零,色向参数是1,不为零则是3(边角块环),或2(中棱块环).
4.2.3. 中心块
*如果中心块第一次转了90度,则该中心块循环周期为4
*如果中心块第一次转了180度,则该中心块循环为2
4.2.4. 在原位的边角块
显然在原位受影响的边角块色向循环周期是3
4.2.5. 在原位的中棱块
显然在原位受影响的中棱块色向循环周期是2
5. 块周期
对任意状态,每个块有特定的循环周期,称为块周期,块周期因以下因素而不同:
*在环内的块,由环的块数,环的色向和,块的类别决定块的周期,块周期就是环的循环周期
*在环外的块,仅由块的类别决定块的周期,即由块的色向状态数决定
*中心块周期显然是4或2.
*对无色向块,在环外,无块周期;在环内,块周期是环的块数
*基态块无块周期,不参与计算.
总体上看,公式循环周期的本质是所有块周期的最小公倍数.
6. 循环计算
第一次在复原魔方上使用公式后,完成以下操作:
*找出所有的环,确定每个环的周期
*找出所有受影响的中心块,周期可能是2或4
*找出所有在原位受影响的中棱块色向/边角块色向,周期分别是2与3
*公式循环周期=块周期的最小公倍数
*公式执行步数=公式循环周期*公式步长,这里取90度转动为一个基本步长

7. 变换举例
7.1. 举例一
公式:上面顺转90度,前面顺转90度,步长n=2
上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果:
*生成一个含7个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:7
*生成一个含5个边角块的环,环的色向和不为零,所以环的周期:为3*5
*一个角块色向原位顺转,周期为3
*二个中心块顺转动90,周期为4
最小周期公倍数=7*15*4=420  #显然420能被所有周期整除
公式循环周期=420
公式执行步数=公式步长*420=2*420=840
对纯色魔方,忽略中心块周期:
最小周期公倍数=7*15=105
公式循环周期=105
公式执行步数=公式步长*105=2*105=210
可以验证上面的计算完全正确
7.2. 举例二
公式:前面,右面,后面,左面四个面依序顺转90度,步长n=4
上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果:
*五个边角块原地改变色向,周期为3
*生成含3个边角块的环,环的色向和不为零,所以环的周期:为3*3
*生成含5个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:5
*生成含7个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:7
*四个中心块顺转动90,周期为4
最小周期公倍数=9*5*7*4=1260, #显然1260能被所有周期整除
公式循环周期=1260
公式执行步数=公式步长*1260=5040
对纯色魔方,忽略中心块周期:
最小周期公倍数=7*5*3=315
公式循环周期=315
公式执行步数=公式步长*315=4*315=1260
可以验证上面的计算完全正确
7.3. 举例三
公式:上面,下面,左面,右面,前面,后面六个面依序顺转90度,步长n=6
上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果:
*四个边棱块原位改变色向,周期为2
*生成含2个边角块的环四个,四个环的色向和为零,所以环的周期:2
*生成含2个中棱块的环四个,四个环的色向和分别不为零,所以环的周期为:2*2
4. 六个中心块顺转动90,周期为4
最小周期公倍数=4, #显然4能被所有周期整除
公式循环周期=4
公式执行步数=4*6=24
显然纯色魔方与全色魔方循环数相同
可以验证上面的计算完全正确
8. 引深推论
*完全基于N阶定律
*适用于N阶魔方所有公式
*主要适用于电脑编程处理,因为高阶魔方状态分析不是一件易事
*计算的结果,显然是相关公式的最短循环次数
*计算思路可作为最远状态分析的引子
9. 作者说明
当前所见的一些"循环变换理论"无力描述公式循环原理,无力计算公式循环周期,除了一些不着边际的虚幻描述外,甚至计算不出任何有实用价值的结论,这种理论存在的合法性令人质疑.

---------------------------------------------------

忍冬

完成于拉萨市

2005年4月15日

[此贴子已经被作者于2006-11-8 6:53:26编辑过]

ggglgq

以下是引用pengw在2005-4-15 13:12:41的发言：

循环变换计算

------------------------------------------- 1 变换定义 对一个步长为N的公式,从特定方位作用于魔方,这个公式在同一方位重复一定次数后,魔方又回到初始的状态,这就是循环变换. 6 作者说明 1. 当前已有循环变换文章描述定义不清, 文章过于雾里看花,过于关心表象 2. 在应用上没有准确阐明用法 3. 问题计论似乎不涉及魔方状态变换这一关键问题,看不出头晕眼花的初等转动体有何暗喻 4. 没有给出公式循环次数计算方法,这正是循环变换在应用中的关键问题

呵呵，pengw 朋友也开始涉足“循环变换”了，真是可喜可贺呀！

上述评论可否贴于我的“循环变换”中呢，以增加其内容！不过“上述评论” 更适合贴到“魔高一丈”的“魔方的算子循环与计算”中去丰富她的内容！

“循环变换”的很多结论均可用“有限魔方群”直接得到，从而省了烦琐的 计算，比如 [循环变换] 的首尾无关性，又如 正六面体三阶魔方 最远状态的到 任意单步长距离都相等（请参考“宇宙飞碟”的“离初始状态最远的图案 定理”） 等等！

我的“循环变换”的初衷是解决“各类魔方最少步”问题，与你“上述评论” 差距很远，我真的很不喜欢与别人争论“理论的优劣”，只想让事实和后人评论， 我想我们“自己”是没有资格评论“自己”的！

pengw

以下是引用ggglgq在2005-4-15 16:44:27的发言：

呵呵，pengw 朋友也开始涉足“循环变换”了，真是可喜可贺呀！

上述评论可否贴于我的“循环变换”中呢，以增加其内容！不过“上述评论” 更适合贴到“魔高一丈”的“魔方的算子循环与计算”中去丰富她的内容！

“循环变换”的很多结论均可用“有限魔方群”直接得到，从而省了烦琐的 计算，比如 [循环变换] 的首尾无关性，又如 正六面体三阶魔方 最远状态的到 任意单步长距离都相等（请参考“宇宙飞碟”的“离初始状态最远的图案 定理”） 等等！

我的“循环变换”的初衷是解决“各类魔方最少步”问题，与你“上述评论” 差距很远，我真的很不喜欢与别人争论“理论的优劣”，只想让事实和后人评论， 我想我们“自己”是没有资格评论“自己”的！

ggglgq老师:

你好,关于魔方的一切理论我都很感兴趣,也拜读了包括你在内的很多人的循环变换的相关文章,说实话,有些我真的没有看懂,可能是数学基础的原因.

很多年以前我就注意到公式循环的问题,只是无法算,当时还没有发展出用于计算的论理.读了你们的文章后,发现计算问题依然存在,如计算方法表达不完整,仅针对三阶绝色魔方,计算要素描述不全,就冒昧涉足,发了"循环变换计算"一文,计算原理完全源于我发展的N阶定律,计算方法是N阶通用的,计算结果应该是正确,这一点我很有信心.

当前,一些循环理论有回避魔方状态细节之嫌,我认为这恰是不能回避的问题,我的循环计算方法就源于状态细节分析,对ggglgq老师的理论,我提以下建议:

1.更明确,更清淅地表达理论的用途及用法

2.简明扼要,通懂易懂地表达理论思想,减少大量数学符号的使用,很晕头

3.多举应用实例,让读者体会理论的用意

4.力求系统完整地表达理论 希望我的"循环变换计算方法"能对玩家有现实的帮助 希望跟ggglgq老师有更多的切磋技艺的机会

限于我的理解,我的评论错误在所难免,请多包含

[此贴子已经被作者于2005-4-15 21:39:39编辑过]

大烟头

忍冬兄的“基于N阶定律的循环变换计算”一文，我看懂了，好文! 顶!

此文通俗易懂，一下子就把我这魔方理论的门外汉引入门了。我以前也觉得重复做某个公式，魔方一定能回到初始的状态，苦于无法理清这现象的原理。如今算是明白了。

周期公倍数是个很好的慨念：

周期公倍数最小值为2，这是可以肯定的(如，只有一个或多个的中块转180度)。那周期公倍数的最大值为多少呢？这是个值得研究的话题。

ggglgq

呵呵，我想每一个理论都有其侧重点，我多次和你提过，“循环变换理论”的初衷是快速 解决“各类魔方最少步问题”。 而你的理论侧重点是“预测探究正六面体 N 阶魔方状态的存在性”。看样子，我们的理论 互补性很强嘛。呵呵，魔方的理论很是需要这种“百花齐放、百家争鸣、多姿多彩”嘛！

现就你的建议回复如下：

1.应该说“循环变换理论”已经很明确,很清淅地表达理论的用途及用法。建议你学点“群” 的有关概念，搞魔方理论研究的人应该掌握些“群”的基础知识，才能更好地来研究魔方；

2.“循环变换理论”尽可能少地运用了“有限群”符号及概念，以求“简明扼要,通俗易懂”。 这一点我在“循环变换理论”中已经和 notabdc(葛永) 进行了探讨，他曾经建议我再多增加些 诸如“有效变换”等的概念和符号，那时我就告诉他“我并不打算把我的这个理论搞得概念太多 而影响大家的理解，只想让最初接触它的人感觉它容易接受，而不象纯“魔方群”那样让人感到 恐惧。” 详情请参考“循环变换理论” 13、14、17、35 楼。 如果对“群”的基础知识有所 了解，你就会觉得我的“循环变换理论”符号及概念 过少 而不是 过多，符号少了是不能解决 诸如“各类魔方最少步”等复杂问题的；

3.我在发表“循环变换理论”前已经让“宇宙飞碟”准备了大量“循环变换”应用实例， 而且我也在不断举例阐述“循环变换理论的用法”。在这里还要感谢 cube_master ,老猫,天亮, 大烟头 , notabdc(葛永) , 宇宙飞碟 , 魔高一丈 , hw294 , xinru 和 你 对“循环变换理论” 的支持和完善。准备进一步征求广大魔友的意见（拓广应用、纠正错误 等意见）后再整理定稿。

你提到“魔方状态变换”，那正是你的理论的 侧重点---强项 ！不过谢谢提醒，我现在专门 补充一贴。 你再看看是否有“似曾相识的感觉”呢？ 说实话，我对这种重复发贴，感觉“很累”！

最后建议你“一楼”的“循环变换”概念更改为“算子循环的循环变换”或“算子循环与计算”， 这样 你 、我 和“魔高一丈”的理论就不会产生冲突，以致造成 你 和 其他魔友阅读理解时出现 误解！我们搞理论研究的人今后给出的概念要尽量准确一致，方便读者阅读理解！

希望我们今后经常切磋交流魔方技艺，共同提高，为我国魔方的普及与发展贡献我们的力量。

pengw

以下是引用ggglgq在2005-4-16 9:19:15的发言：

ggglgq朋友,你好,你的建议确有可取之处,就目前而言:

1.N阶定律已完成对N阶魔方状态变换的全部描述工作,这部分工作没有使用群论的必要

2.当前魔方残留的唯一问题就是任意二种状态的最优开解问题,我想这也是群论最终发挥用处的地方,但当前是乎没有看到明显的进展和有实用意义的重要指导性结论.

3.由于当前各人使用的描述方法及相关术语的差异,理论的合并尚须时间

4.对于玩家,他们更愿看到导出的实用结论,而非少数人玩赏的数学美丽,因此理论的描述应多从这种角度进行,毕竞玩家多数不是纯学术派,即是"时间简史"里的公式也比N阶定律少,但无妨大家读懂,玩笑.

6.数学系的秋紫红用群论进行了大量研究,结论是除了模型描述外,是乎尚不能推导出现有的一些重要指导结论,我的群论知识已忘十几年,看来是要重新补补,为了完成下一步工作.

[此贴子已经被作者于2005-4-16 13:55:02编辑过]

ggglgq

以下是引用大烟头在2005-4-15 23:41:54的发言：

周期公倍数是个很好的慨念。

周期公倍数最小值为2，这是可以肯定的(如，只有一个或多个的中块转180度)。那周期公倍数的最大值为多少呢？这是个值得研究的话题。

烟头兄弟所说的“周期公倍数”就是“魔方变换群”的基本概念“阶”！

任一魔方的任一变换群的元素，也就是任一操作序列都是有限“阶”的， 那么，变换群中“阶数”最大的元素是几阶的？ 怎样找到“最大阶元素”， 也就是找到“最大阶的操作序列”？这些问题都是困绕当今数学家的难题呀！

pengw

以下是引用ggglgq在2005-4-16 11:41:15的发言：

烟头兄弟所说的“周期公倍数”就是“魔方变换群”的基本概念“阶”！

任一魔方的任一变换群的元素，也就是任一操作序列都是有限“阶”的， 那么，变换群中“阶数”最大的元素是几阶的？ 怎样找到“最大阶元素”， 也就是找到“最大阶的操作序列”？这些问题都是困绕当今数学家的难题呀！

1.好话题,请ggglgq给出一个一般性研究取向,看来大家不知不觉咬到骨头了

2.就现有描述魔方的理论而言,我觉的不是非用群论不可,况且大量的代数符号,的确不是好感觉

3.一个解决问题的最好构思才是首要的,其次才是工具选择,能解决同样问题的工具都是等效,所以工具选择是一个很个人的问题

ggglgq

呵呵，看看 pengw 朋友最近的帖子标题，让我感到很惊讶、很欣慰：

1. [原创]正六面体魔方复原算法分析:完成于西藏

2. [原创]基于N阶定律的广义公式循环原理:完成于西藏

不管 pengw 朋友对“循环变换”理解的正确与否，至少我们有了共同 的话题。虽然我们俩的理论体系不一样，但互补性却很强。 看来青藏高原 的确是个开阔视野和思路的好地方呀！比方说从“正立方体”到“正六面体” 至少反映出标题成熟和严谨了许多......

真诚地希望我们以后多加交流，取长补短，互相学习，共同进步！

pengw

以下是引用ggglgq在2005-4-16 19:00:37的发言：

呵呵，看看 pengw 朋友最近的帖子标题，让我感到很惊讶、很欣慰：

1. [原创]正六面体魔方复原算法分析:完成于西藏

2. [原创]基于N阶定律的广义公式循环原理:完成于西藏

不管 pengw 朋友对“循环变换”理解的正确与否，至少我们有了共同 的话题。虽然我们俩的理论体系不一样，但互补性却很强。 看来青藏高原 的确是个开阔视野和思路的好地方呀！比方说从“正立方体”到“正六面体” 至少反映出标题成熟和严谨了许多......

真诚地希望我们以后多加交流，取长补短，互相学习，共同进步！

同感,同想,同心,同愿