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方形魔方的一般模型 ―――色子模型 在开讲前，我们来做一个游戏。看好了，千万别眨眼。   发现什么了吗？对了，有一个面心块在原地独立转动了 180 度，而不影响其他任何的小块。这一奇妙现象简直超乎人的想象。（我此时在做报告，下面坐的人应该觉得很奇妙，因为他们不象你们是老手） 欲知个中原因，请听我来慢慢分解。 首先谈一谈我的模型，我采用了归一化处理。将不同类型的小块都归一为一种类型―――色子。也即一阶魔方也即骰子。但三者是有区别的（如下图）。它是一个立方体，六个面一般是数字。当然也可以用六种颜色代替。色子就是我理论的基础，也是我理论的精髓之所在。  物理学认为万物是由原子构成。同样我认为各种方形魔方都是由色子构成的。由于色子有六个面，建立模型就比较难。仔细观察就会发现色子是由三组对面组成的。只要确定每组中的一个面也就是三个面就可以确定六个面的状态和位置。我当然就选取 x,y,z 三个面做研究的对象，而不论 -x,-y,-z 三面。而一般人就只考虑魔方露在外面的面，这样就必须考虑 6 种，而且不同的小块考虑的颜色有都完全不同，得不到统一又复杂又不系统。更麻烦的是立方体的体心从实际的角度来看就是没有颜色的，一般模型是不能描述它的转动。而我的模型完全克服了这一点。算是透过表面看本质吧。 我规定某三个面的颜色分别为 x,y,z 三色。相对的面的颜色依次为 -x,-y,-z 三色。我同时规定面与面的颜色是可以叠加的。如 x 与 -x 叠加就互相抵消为无色。同理 y 与 -y,z 与 -z 也抵消为无色。如果将两个色子同向拼在一起，自然那个看不到的面就是无色的。如图：  经过上面的变化之后。不管块子怎么转，颜色也无法复原，始终为无色。这就好象带有等量电荷的两个块子碰到一起，电量便中和，以后两块怎么碰在也不会带电一样。 如果再加一个就是三个。如下图：  同样如果三个上图的三块前后同向拼在一起。就是下图，相接处的颜色也刚好都抵消，呈无色。  如果三个如上图的块子上下同向地拼在一起。就是下图，是一个三阶魔方。它六个面的颜色都不同。但每个面九块的颜色是一致的。而且小块的相接处是无色的。可见它与实际的三阶魔方是极其相符的。   同样，也可以拼出如 2×3×4 等各种长方形的魔方。立方体的魔方只是我理论中的一个特例而已。如图：   所以我认为方型魔方就是一个空间色子阵。是一个 x 行 y 列 z 层的空间色子阵。 x,y,z 为自然数。而初状态时，色子是同向排列的。 下面我将上面的模型数量化。介绍一下我特别的坐标体系。表现为有八个原点，二十四个正负半轴。即长方体或立方体的八个顶点，以及八个顶点每个顶点伸出三个轴，一共二十四个轴。轴只有 X,-X,Y,-Y,Z,-Z 六个轴如图： 这一点和中国的八卦极其相似，八卦的单位符号有  ( 阳 ) 和  ( 阴 ) 两种，每一卦都是由三个单位从上到下排列的。如果从上到下依次代表 X,Y,Z. 阳代表正，阴代表负。那么 -X,Y,-Z 则表示  ( 坎 )。其他的也是一样的道理。 所以我的坐标系也叫八卦坐标系。八卦不但是一套平面符号体系，还是一套空间符号体系，有着明显的几何意义。   仔细观察我的坐标系，你会发现 X 方向都好象是从魔方的后面的那个面发出来的，指向魔方的内部。我将该面定为  。而 -X 方向则都是从前面的那个面发出的，也指向魔方的内部。该面定为  。同样的道理定义  。它们发出的方向也都指向魔方内部。是一种内敛的坐标系，不同于一般的坐标系是外张的。我的坐标系的显著特征是坐标系很小，且坐标系外无物。 如何确定三个坐标。先看是 X 方向还是 -X 方向穿过某一小块的 x,y,z 面中的哪一个，用以确定第一个坐标的正负及颜色 (x,y,z 三色 )。然后看  或  到那个面背面的距离。即为其系数。如 -3z. 就表明是 -x 方向从内向外穿过 z 面。而且  到小块 z 背面的距离是 3。同样方法确定剩下的两个坐标。具体的如图： 下图是一个一般的图。图中的小块的坐标就为 (-az,bx,-cy)。其他的情况也类似处理，有一定的法则 :1，方向 (6 个 ) 一定要从发出的面指向小块面 (3 个 ) 的背面。由此来确定坐标的符号 .2. 发出的面到小块面的背面的距离即为其系数，被指向的面即为坐标中的色向 .3. 过程按  6 个方向依次进行。  所以刚开始所有小块的坐标都为正，且是按 x,y,z 的顺序的排的。正是所谓的同向色子，就好像排得极整齐的方阵一样，不同的它是个三维的。它们转动之后就不是同向色子了。就好像解散的时候，大家都各奔东西，方向杂乱。 魔方是要通过转动来改变状态的，当然就要描述其转动。我用的是数学里面的矩阵来描述。下面我就用 N 阶魔方来讨论。 我取的是坐标为  的那一块。如图它可能是包含在魔方内部的一块。以 by 所在的平面为截面的截面图就是 ( 见下页 )。如果它以 Y 方向为轴以右手法则正转 90 度。通过简单的平面几何知识就可以计算出它的末坐标为  。 如果设小块的初状态为 M，末状态为  。转动矩阵为 T。则转动过程就可以表示为：   由上面的式子求  .   =  , 可以很容易地计算出  =  . 同样的道理，计算出  =  ,  =  。它们之间存在很多关系，如  =  ,  =  ， =  ,  =  等等，其中  =x,y,z.  是单位矩阵。 =  。当然如果转动的面不是正方形的，则只能一次转动  . 即一定要乘  。 由于取小块的时候 a,b,c 的数值是任意的，则上面的转动定理适合所有的小块，包括看得见的和看不见的。当然也适合长方体的魔方。所以我的转动定理是一个方形魔方的完全转动定理 . 即对一切长方体或正方体的魔方 (L  M  N 的魔方 ) 的所有小块 (L  M  N 个小块 ) 都满足 .L,M,N 是任意自然数，可以相等，也可以不等。特别 L=M=N=1 的魔方即一阶魔方也满足。我发现现在一般人研究的都是 L=M=N=3 的魔方，即三阶魔方。或者 L=M=N=? 的魔方，即 N 阶魔方。即使这样人们也只研究了表面的小块。这样看来我的理论是相当厉害的。很有普遍性，很通用。它填补了魔方研究的空白。 下面还有更厉害的，首先我给几个定义。 定义为魔方小块对应的特征值，简称块特征值，于是就有我的方形魔方第一定理，块特征值不变定理： 不论魔方怎么转动翻转，它的每一块的三个面对应的块特征值都不变。 证明：设魔方小块的坐标为   . 则  =  ，  ,  . 它们的块特征值还是  设新的坐标为   .   {  } 且 
又  ,   它们的块特征值是 .  . 又因为   {  } 且  所以它们的块特征值也即是 .  . 如此重复任意次它们的块特征值都是 .  . 这样就证明完毕。 其实仔细观察就会发现转动矩阵里面的元素是仅由  1 和 0 组成的，并且每一行每一列都只有一个  1 和两个 0. 这就意味着 .  不会翻倍或缩减。 之间也不会进行加减乘除等运算，也不会有一个变为 0. 这样块特征 .  自然就不会变。 有了这个定理，那么坐标的系数就可以写为下标，因为它与色向是不分开的，这样做为后面的讨论提供了极大的方便，特别是只讨论色向的时候。 推论：小块是不可平移的，只能转动。即小块的不可平移性。 通俗的说即：如果平移则 X,Y,Z 三个面对应的特征值一定会变。这就不满足第一定理，如果能平移则无色的面会露出来或有色的面会被藏起来，这当然是不可能的事情 . 这也可不是一句显然成立就可以解决的问题，也是需要证明的。 接着就是我的方形魔方第二定理，简称状态定理。 立方体魔方转动时，每个小块有且仅有 24 个不同状态。 长方体魔方转动时，每个小块有且仅有 8 个或 4 个不同状态。 证明：方法有几种，方法 1 将所有的可能的矩阵算出来，有 24 个，它们分别是：   ,   ,     ,   ,     ,   ,    ,  ,   ,  ,    ,         .
有且仅有的 24 个不同转动矩阵就决定立方体魔方每一小块有且仅有 24 个状态。同理，由于长方体的魔方有的面不能转 90  . 只能转 180  . 转动矩阵里就没有  只有  状态就少一些 , 三边都不同的魔方就只有 4 态，有且仅有两边相同的魔方就只有 8 态，它们的转动矩阵我就不列举了。 方法 2: 仅仅由坐标可能的排列组合就可以得到 .ax,by,cz. 按顺序排列就有 6 种可能，它们前面的正负符号的排列有 8 种可能，就是 48 种可能性，但正负符号的排列的 8 种可能中有 4 种是不可能的，因为它们的 ax,by,cz 这三个面是按右手法则排列的，确定 ax,by,cz 中的两者就确定了第三者，所以它们的正负符号的排列就只有 4 种，所以还是 24 种可能性。 至于怎么由某两个坐标确定第三个坐标，我下面会给出一组很有用的式子： 其中  分别代表第一，第二，第三个坐标。 声明一点： 代表叉乘，即矢量的外积，而  代点乘，即矢量的内积。两者有本质的差别，相关的知识可以查看大学的教材如高等数学等。注意这很一点很重要。 方法 3: 也可以由矩阵的排列组合得到，由于每一列且每一行都只有一个  ，其余元素为 0 ，则第一列的  有三个位置可填，于是第二列的  有两个位置可填 ，第三列的  只有一个位置可填，就是 3!=6 种可能。现在来确定三个  的排列组合，有 8 种可能，又得到 48 种可能。 但一算就还是 24. 设初态和末态的坐标分别为 (  ) 和 (  ). 它们之间的转动矩阵为  , 则 (  )  =(  ) 上式由矩阵的乘法展开为   , 
又因为  . 并且由矢量的叉乘及加减混合运算便可以计算得到  由对应关系得  
同理其他列也有同样的性质。即有  。那么某一列就可以由其他两列确定，也即那一列中 1 前面的符号是被确定的。所以 24 态定理得证。 由于  且 |A|=1 。那么   这就是魔方矩阵的特殊性质之一：逆矩阵等于其转置。 其实有方法可以直接得到。先来看一个引理。 有了状态定理就可以进行一些简单的判断，算是理论指导实践吧。 如果 仅凭感性的直观认识就有可能出错，比如：四阶魔方的一个棱块，就是不是中间的那一个棱块。如图：  
一般人凭感性认识就会发现它可以转到魔方的 24 个不同的位置，棱块可以翻，就是 48 态。但其实这个棱块与中棱块是不同的，是不能翻的。上面右图就是不可能的所以它一个位置就是一种状态。 还有四阶魔方的中心块。它是由四个小块组成的。凭感性认识就会发现其中的每一个可以转到 24 个不同的位置。每一个有 4 个朝向就是 4 个状态，一共就是 96 态。但其实一样这种中心块与三阶魔方的中心块是不同的，它的一个位置也就是一种状态。 上面是从侧面说明的，也可以利用特征值定理从正面来说明。上面图中两个小块的坐标分别为  明显 Y 前面的系数的绝对值就不同，是违反特征值定理的，是不可能的。 但三阶魔方中为什么又可以呢？因为三阶魔方中这样的一个小块变换前后的坐标分别为  明显 Y 前面的系数的绝对值相同，是满足特征值定理的。 中心块也是一样的道理，这就是三阶魔方和高阶魔方的不同之处。 特别注意：我的定理不光对表面的小块适用，而是对所有的块子即 L  M  N 块都适用，这一点是非常重要的。 有一句话是这样的：一粒沙里看一个世界，同样我的理论是一个色子看一个魔方，一个色子的性质就是所有色子的性质。 其实我的色子理论不仅限于立方体的魔方，广而言之任何魔方都是由色子构成的，但与立方体的魔方不同，色子的形态可能是多样的。就象万物是由多种不同的原子构成的。但一种原子可能构成好几种物质，比如碳元素就可以构成石墨，金刚石等外表完全不同的物质。同样我的正方体的色子可以构成一切长方体或立方体的魔方。 上面用到了一组极有用的式子  。 但没有证明。现在加以证明：假设  成立，则  。 还是想强调一下， 分别代表第一，第二，第三个坐标。而不是色向，与 x,y,z 是完全不同的。 由双重矢性积得  由于  ，  所以  同理  。 运用数学归纳法。 设初态为  即为  显然  。 即  即 K=1 时，原式成立。  假设 K=n 时成立，则  。
当 K=n+1 时。考虑    。 即 
同理  。 
再考虑  和  同样也满足，即当 K=n+1 时，原式也成立。 由  两点得命题成立。 其实实体中 x,y,z 面按右手标架的制约排列，坐标间的制约关系和矩阵行列间元素的制约关系可以用下图来描述。 
三者各有优点，实体直观易判断，坐标写法简洁易运算，矩阵元素简单也易进行运算。它们是互相等价的，包括联系和制约关系，巧妙的将魔方实体，高等代数和解析几何联系起来了。 现在可以解决开头提出的问题了，其实早就可以解决了，现在把它作为压轴戏献给各位。 我将魔方的 27 个小块记作  . (  ). 现在用通用易懂的记法来描述：L( 左 ),R( 右 ),U( 上 ),D( 下 ),F( 前 ),B( 后 )。字母上是 -1 表示逆时针转 90 度。是 2 表示转动 180 度。没有则表示顺时针转 90 度。比如  表示左边的转层逆时针转 90 度， 表示上面的转层转 180 度 ( 正转反转效果是一样的 )、而  则表示下面的转层顺时针转 90 度，其余的依次类推。 那么我开头的转动操作就可以简单记为  我的计算方法是将每一小块所经历的转动都依次记录下来，然后写成坐标连乘矩阵的形式，来计算出末坐标。最后又还原到实体直观地观察结果，就是开头的那样，一下就破除了其神秘感。  由于很多小块是连在一起运动，我就将它们写在一个矩阵中。
所有的过程如下：                   现在就剩最关键的一块了 . 
从上面的简单计算发现其中 26 个小块它们坐标所乘的一串矩阵的连乘积都为 E. 所以它们的状态都未改变。只有魔方顶层的面心块  的一串矩阵的连乘积为  . 几何意义为它以 Z 轴转动 180 度。 这样就解释了三阶魔方一个面心块独立转 180 度的奇妙现象。 上面是用通用易懂方法来描述转动的，它对三阶魔方是非常有用的，但对于高阶魔方来说就不太实用了，比如高阶中的中间转层就不好描述。 下面是我的描述方法： 表示垂直 X 方向的层以右手法则正方向转动 90 度。理论上对所有层都实用，但实际操作是总是针对某一个层，所以应该加以区分，表示为  . 由 n 来确定是哪一层。垂直 X 方向的层以 X 的正方向分编为  , 而不是从中间开始的。如图以 6×4×4 的魔方举例。  同理 Y 方向和 Z 方向也是如此，比如  表示一个任意的方型魔方 垂直 X 方向以 X 的正方向数第三层依照右手螺旋法则正转９０度。 则表示一个任意的方型魔方垂直 Ｙ 方向以 Ｙ 的正方向数第二层依照右手螺旋法则逆转９０度。 为了方便记录，在不至于混淆的情况下可以将Ｔ省略。  就可以记为   . 显然不很直观，但我的描述法不是为三阶而准备的，是为了一般的方型魔方而准备的。另外是想让人不断的熟悉我的色子模型，在大脑中形成一个鲜明的八卦坐标系和对应的方向场。对小块在也不只看表面，而以色子来看。 欲知更多相关内容及研究成果，尽请关注下次创新人才遴选。所以大家请支持我吧。（报告结束了，但好象下面的人都心不在焉的，我想完蛋了，看来我是在台上面自我陶醉） 后记 我的理论有很多地方是基于李世春教授理论上面的，比如说八卦及转动矩阵等。但我解决了中心块转动的问题还将其扩展到所有方型魔方（L×M×N 的类型）的所有小块（ L×M×N 个小块）。还对小块的坐标及对应的矩阵作了深入的研究，给出了小块的坐标及对应的矩阵的内部关系及相互等价关系。还给出两个有用的小定理。 注：上面有很多东西涉及高等代数和空间解析几何。它们是阅读该篇的基础。 论文原创者：邱志红 电话 :027-87437309 027-59705470 027-61327508 qq:357484743 电子邮箱：qzh_409@163.com 职业：学生 通讯地址：中国地质大学数学与物理学院 121031 班 该论文已在中国地质大学数学与物理学院 2005 年创新人才遴选会上发表过。 保留著作所有权力，限于非商业性使用，允许原文转载，但要注明作者 建议命名“方形魔方的一般模型”，也可称“色子模型” 谨以此献给：我自己。为此我挂了三门课。 谨以此献给：忍冬，让他期待很久了。多谢他的支持和鼓励。 谨以此献给：魔方吧，你们的存在让我有了展现自我的空间。 谨以此献给：李世春教授，希望他能喜欢我做的创造性的改进和推广及对中心块转动问题的解决。 若能为同仁做出有益的参考，实为本人的最大满足，希望我的论文能提供各位一个很好的研究工具和方法。希各位同仁不吝赠教。谢谢你读本人的拙作。 完成日期：2005 年 3 月 29 日。 修改日期：2005 年 5 月 7 日。 发表日期：2005 年 5 月 25 日。
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