教你手算彳亍法角块378公式

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教你手算彳亍法角块378公式

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        各位魔友大家好，很高兴继续和大家交流。

        最近由于一些原因，我重新拿起魔方训练了两三个月，其间对三阶盲拧彳亍法角块378个三轮换（三循环）重新进行了优化整理，全程均为手算，积累了一点点心得体会。现在把手算彳亍法角块378个三轮换公式的方法整理出来，主要目的是让大家进一步了解彳亍法角块三轮换的结构与原理，加强对三轮换整体结构的认识，便于对每种情况都能迅速归类、手动推算、快速编写出合适的公式，避免公式不理解、公式逐个算、公式逐个背等导致学习效率较低的情况发生。本文把我不成熟的一些见解讲给大家，欢迎广大魔友提出宝贵意见。

        本文注重对公式整体结构、编写方法的讲解，并非直接给出一套现成的公式。另外，读者的缓冲块位置不影响本文阅读。

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一、编写角块378公式的两个要点

        个人认为，编写角块378公式，一定要抓住两个要点：一是把全部角块三轮换按“两两之间至多只差整体旋转的所有三轮换状态归为一个等价类”的方式进行分组；二是公式的开发要以角块8步换位子为核心。

        下面详细解释。

        为了方便叙述，下面使用一叶知秋老师在名著《彳亍法 记事本》中的编码，如图。

图    角块编码

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二、三轮换的分组

       手算彳亍法角块378公式的第一步是“分组”，即把全部角块三轮换按“两两之间至多只差整体旋转的所有三轮换状态归为一个等价类”的方式进行分组，并整理成表格。具体的分组已在我在mf8的另一篇文章《三阶魔方三轮换分类及其应用》中有非常详细的解释，请没看过的魔友阅读该文。在此只简单回顾一下要点。

       全部角块三轮换按上面的分组方法共分为3类23组，其中第1类（异层类）共有9组（C01-C09），每组24型，固定缓冲块时，三轮换占全部情况的3/8，即每组9型（这些组的任意一个三轮换，例如OAJ，共有24种不同的整体旋转，得到24个同组的三轮换，当把缓冲块确定后，这组中涉及自己缓冲的三轮换有9型）。

       角块三轮换第2类（同层类）也有9组，每组24型，缓冲块确定后，每组涉及9型。

       角块三轮换第3类（等边类）有5组，每组涉及若干型。

       我们以DBL缓冲378条三轮换为例（每个缓冲块的三轮换都是从1008条角块三轮换中取出3/8，即378条，且整体结构与DBL“同构”，完全不必担心影响阅读），列出一张表格如下。

表    固定缓冲角块三轮换分组总表

       这样一来，角块三轮换的分组就完全清楚了。（每个缓冲块都很容易制作出完全类似的一张表，请读者根据自己的情况完成。）根据这一分组，镜像关系、一步setup关系等内容也很容易分析出来，详见《三阶魔方三轮换分类及其应用》。

       为什么要掌握三轮换的分组呢？因为一条三轮换公式经过正确的整体旋转可以解决同组的所有三轮换，而且三轮换的分组会使组间的镜像关系和一步setup关系更为明确，这给我们开发公式带来了极大的便利。（当然，每组可以准备多条公式，其中的每条公式也可以设计多个方向的手法，以使本组所有三轮换公式的速度及整体旋转幅度令人满意。）

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三、角块8步换位子

       手算彳亍法角块378公式的第二个要点是角块“8步换位子”的运用。

       众所周知，在彳亍法中，角块三轮换采取[A,B]=ABA’B’（即换位子(commutator)）形式的公式。举个最简单的例子，角块第2组（C02）的OAK这一型，可采用[L2,U’ R’ U]=L2 U’ R’ U L2 U’ R U 或 [B R2 B', L2]= B R2 B' L2 B R2 B' L2 来解决。（换位子原理是编写盲拧公式的常识，不懂此原理的读者请自行阅读相关文章，此处不再赘述。）

       虽然步数短并不完全代表速度快，但经过实践笔者认为，在角块三轮换中，8步换位子三轮换公式短小精悍，是整个角块三轮换公式体系的核心。抓住8步三轮换的开发（包括各种多向手法的研究），就抓住了整个角块三轮换体系公式优化的核心。

       大家知道，彳亍法中，角块8步换位子均为[A,[B:C]]=[A, BCB’ ]=ABCB’A’BC’B’ 的形式。例如，上面已提到，角块第2组(C02)的OAK可用2种8步三轮换解决，它们分别为 [L2,[U’:R’]]=L2 U’ R’ U L2 U’ R U 与 [[B:R2], L2]= B R2 B' L2 B R2 B' L2。（再次提示，请不明白上面两个公式的编写方法的读者先阅读关于换位子的文章。）

       那么，角块8步换位子共有多少种形式呢？根据换位子原理我们知道，角块8步换位子均为[A,[B:C]]=[A, BCB’ ]=ABCB’A’BC’B’ 的形式。其中A和C是相对的两个面上的旋转，B是同时与A、C的旋转面相邻的某个面的旋转。在不区分公式整体旋转的情况下，我们不妨把A设为D面（下面）的旋转，B设为R面（右面）的旋转，C设为U面（上面）的旋转。且每个面的旋转有3种不同的情况，例如，A可设为D、D2、D’这三种旋转中的一种，B可设为R、R2、R’这三种旋转中的一种，C可设为U、U2、U’这三种旋转中的一种。这样一来，（在不区分公式整体旋转的情况下）我们得到了角块全部18个8步换位子公式如下。

公式               所在组         公式临时名称
[D2,[R:U]]         C01              双1
[D2,[R:U2]]       C02              双2
[D2,[R:U']]        C23              双3
[D2,[R':U]]        C22              双3镜
[D2,[R':U2]]      C01              双2镜
[D2,[R':U']]       C02              双1镜
               
[D,[R:U]]          C14              单1
[D,[R:U2]]        C06              单2
[D,[R:U']]         C13              单3
[D,[R':U]]         C09              单4
[D,[R':U2]]       C07              单5
[D,[R':U']]        C17              单6
               
[D',[R:U]]         C17              单6镜
[D',[R:U2]]       C05              单5镜
[D',[R:U']]        C06              单4镜
[D',[R':U]]        C14              单3镜
[D',[R':U2]]      C09              单2镜
[D',[R':U']]       C13              单1镜

表   角块全部18个8步换位子公式

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四、基于8步换位子与三轮换分组的公式编写方案

       我们已有了“三轮换分组”与“8步换位子”两大工具，下一步如何进行呢？

       我们已知道，在不区分公式整体旋转的情况下，角块8步换位子公式一共只有18个，且它们所在组已被明确标出。

       因为角块23组是按照“两两之间至多只差整体旋转的所有三轮换状态归为一个等价类”的方式划分的，所以同组的三轮换的最短步数一定是相同的。上面提到的18个8步换位子分布于角块23组中的11组中，所以有且只有这11组能用8步公式解决。这11组三轮换的公式开发一定要紧扣住8步换位子的整体旋转与多向手法，尽量用8步换位子的某种形式解决。

       其他不能用8步解决的组怎么办呢？总的思路是尽量用好的方法把它们setup到8步换位子，或用长一些但比较顺手的换位子解决。

       我们分别算出角块三轮换23组每组的最短步数，并弄清它们的镜像关系及一步setup关系。

       每组最短步数如下：

8步：（11组）
C01、C02、C05、C06、C07、C09、C13、C14、C17、C22、C23

9步：（7组）
C04、C08、C10、C11、C12、C16、C18

10步：（3组）
C15、C20、C21

11步：（1组）
C03

12步：（1组）
C19


       组间镜像关系如下：

表    角块各组镜面对称关系总表

       我们把一步setup关系做成一张图。（两点间连线表示我们可从其中一组通过一步setup变到另一组；两组间没有连线则表示这两组之间没有一步setup的途径。）

图    角块一步setup关系及步数分区图

       这样一来，角块23组的镜像关系及一步setup关系就完全明确了。

       例如，我们看到，图中的点“4”表示C04，它位于9步区。它与8步区的C09有一条线相连，与8步区的C23有两条线相连，表示C04有一种方式一步setup到C09（C09的8步换位子，加上前面的一步setup，后面的一步reverse，再合并一步，得到C04的9步公式），C04有两种方式一步setup到C23。至于具体的setup步骤，请查阅《三阶魔方三轮换分类及其应用》的第三章“三轮换的组间一步关系”，里面有详尽的分析。

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五、公式编写实例

       我们已经知道，角块三轮换全公式的开发要紧扣“8步换位子”及“三轮换分组”。
       角块公式的编写一定要按组进行，一次算一组，切忌脱离分组、逐个演算。

(1) 按组编排的18个角块8步换位子公式

       先把角块全部18个8步换位子公式按组编排一下，以便参考。

公式                        新名称                原临时名称

[D2,[R':U2]]             C01-A                双2镜
[D2,[R:U]]                C01-B                双1

[D2,[R:U2]]              C02-A                双2
[D2,[R':U']]               C02-B                双1镜
               
[D',[R:U2]]               C05                   单5镜

[D,[R':U2]]               C07                   单5

[D',[R:U']]                C06-A                单4镜
[D,[R:U2]]                C06-B                单2

[D,[R':U]]                 C09-A                单4
[D',[R':U2]]               C09-B                单2镜

[D,[R:U']]                 C13-A                单3
[D',[R':U']]                C13-B                单1镜

[D',[R':U]]                C14-A                单3镜
[D,[R:U]]                  C14-B                单1

[D,[R':U']]                C17-A                单6
[D',[R:U]]                 C17-B                单6镜

[D2,[R':U]]               C22                   双3镜

[D2,[R:U']]               C23                   双3


下面我们分别在8步区、非8步区举一些例子。

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(2) 8步区的公式编写

       8步区的演算要紧扣位于该组的8步换位子的整体旋转及多向手法的运用。

       下面仍以我们熟悉的8步区的C02为例。在角块的全部1008条三轮换中，C02共有24型三轮换（顺、逆共48条）。根据角块的“8/3原理”，固定缓冲以后，有3/8的三轮换与该缓冲有关，即9型（顺、逆共18条）。以DBL缓冲为例（其他缓冲完全类似，请不要担心，仿照下述方法编写即可），通过查阅“角块三轮换分组总表”，C02中涉及DBL缓冲（即O面作缓冲）的9型为AK、KE、GJ、LN、XL、JR、SA、FX、WG，且它们之间的整体旋转关系已在表中注明。我们来编写这9型（18条）的公式。

       通过查阅“角块全部18个8步换位子公式”表，我们看到C02这一组有2个8步公式，分别是 “双2”[D2,[R:U2]] 和“双1镜” [D2,[R':U']]，我们已经把它们分别命名为C02-A和C02-B。结合要编写的9型三轮换状态研究多向手法后，我们可以得到这么几个公式：

C02-A:
        C02-A1  [[R:U2],D2] = R U2 R' D2 R U2 R' D2
        C02-A2  [[R:D2],U2] = R D2 R’ U2 R D2 R’ U2

C02-B:
        C02-B1  [L2,[U’:R’]] = L2 U’ R’ U L2 U’ R’ U
        C02-B2  [D2,[R’:U’]] = D2 R’ U’ R D2 R’ U R

       （其中，C02-A1、C02-A2是同一公式C02-A在不同方向的两种形式。C02-B亦然。）

       我们来看要编写的这几型。我们发现，刚编的这四个公式中，通过直接做C02-B1可以完成OAK三轮换，通过直接做C02-A1可以完成OFX三轮换，且完成的效果很令人满意，这样我们就得到了OAK、OFX公式：

OAK  B1 = [L2,[U’:R’]] = L2 U’ R’ U L2 U’ R’ U
OFX  A1 = [[R:U2],D2] = R U2 R' D2 R U2 R' D2

       我们再来看OGJ。通过C02-A/B公式，很容易得到这么几种解法：
       （注意，此处的B2是指C02-B2公式，不是指B2旋转，请不要误解。下文中类似情况请通过上下文理解。）

OGJ  [x:B2] = [x:[D2,[R’:U’]]] = x D2 R’ U’ R D2 R’ U R x’
OGJ  [x’z’:B1] = [x’z’:[L2,[U’:R’]]] = x’z’ L2 U’ R’ U L2 U’ R’ U zx
OGJ  [y’z’:A1] = [y’z’:[[R:U2],D2]]] = y’z’ R U2 R' D2 R U2 R' D2 zy
OGJ  [yz’:A2] = [yz’:[[R:D2],U2]] = yz’ R D2 R’ U2 R D2 R’ U2 zy’

       现在可以根据自己的情况选择一个较好的了。考虑到速度、转体等各方面因素，我个人比较喜欢[x:B2]。

       其他几型也可以通过类似的方法编出公式。给出我个人比较喜欢的解法供参考：

OKE  [y’:A2]
OLN  [x:A2]
OXL  [y’:B2]
OJR  [z:A1]
OSA  [z’:B2]
OWG  [y’x:B1]

       不光是这9型，C02还有另外15型，也可以通过完全类似的方法得到解法，供其他缓冲使用，留给读者作为习题。

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(3) 9步区及更长步数区的公式编写

       9步区公式的要点是挖掘一些合理地一步setup到8步区的经典解法。

       我们举一个9步区的例子。C04位于9步区，通过查阅一步setup图，我们发现它可以一步setup到C09或C23。以经典的OBJ公式为例：

OBJ  R U2 R D’ R’ U2 R D R2’
= R2 ((R’ U2 R) D’ (R’ U2 R) D) R2’ = [R2:[[R’:U2],D’]]
= R (U2 (R D’ R’) U2 (R D R’)) R’   = [R:[U2,[R:D’]]]

       注意 [[R’:U2],D’] 是个C09的8步换位子公式，而 [U2,[R:D’]] 是个C23的8步换位子公式。也就是说，OBJ的这个经典公式既可以看成一步setup到C09，也可以看成一步setup到C23。

       C04还有两个比较经典的公式：

OTC  R D2’ R U’ R’ D2 R U R2 = [x2:OBJ]
ATW  U L2 U R’ U’ L2 U R U2=[z:OBJ]

       它们其实都是OBJ公式的多向手法。

       我们可以应用这几个比较好的公式的整体旋转推出C04其他型的一些解法。举几例供参考：

OYK  [yz:OBJ]
ODZ  [y’z:OBJ]
OMI  [y’x:OBJ]
OLD  [z’:OTC]
OJM  [y:OTC]
OKT  [y’x:ATW]

       其他9步区的组可用类似方法研究。

       10步区有3组：C15、C20、C21。通过“一步setup关系图”我们发现，C20、C21分别可以一步setup到8步区，实践中也并不难解。但C15不能一步setup到8步区，这给我们编写出好公式带来了一定的难度。C15也确实是难点较集中的三轮换组。不过，我们可以一步/两步setup到9步区，配合一个9步好公式，得到11步/13步的较好公式（也相当于两步/三步setup到8步区，同时合并一步）。也可以（据石欣魔友研究）两步setup到C01的一个10步的换位子，得到一个14步公式，并消去4步，得到一个10步且用起来不错的公式。具体过程留作习题。（提示：可参考下文“公式举例”中，10步区的C15公式。）

       为了解决11步区的C03，我们可以用一个较长的经典三轮换公式 [U2, R’ F’ R2’ F R] 或一步setup到9步区（例如 [U:OJB] ）来解。

       至于12步区的C19，使用经典公式U (R’ F’ R2’ F R) U2’ (R’ F’ R2’ F R) U是个不错的选择。
       （顺便说一句，经典换位子公式 [U2, R’ F’ R2’ F R] = [U2, [R’ F’: R2’]] 的编写思路值得仔细品味，留作换位子原理的习题。）

       至此，我们已经在各区分别选取了一组作为例子。

       各组各型的公式编写完成后，就可以按组记忆公式，并在实践中不断改进了。

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六、公式举例

       此处给出各组的公式的一些例子。（仅供魔友参考，实际还有很多好的解法可以挖掘，期待魔友编出更精彩的公式。）

8步换位子：
（已涵盖18个8步换位子公式，期待更多更好的整体旋转、多向手法的开发利用。）

C01-A1  [[U’:L2],R2]
C01-B1  [L2,[U:R]]
C01-B2  [D2,[R:U]]

C02-A1  [[R:U2],D2]
C02-A2  [[R:D2],U2]
C02-B1  [L2,[U’:R’]]
C02-B2  [D2,[R’:U’]]

C05-1  [U’,[R:D2]]
C05-2  [L’,[U:R2]]

C07-1  [D,[R’:U2]]
C07-2  [U,[R’:D2]]
C07-3  [L,[U’:R2]]

C06-A  [[U:R’],L’]
C06-B  [D,[R:U2]]

C09-A  [[U’:R],L]
C09-B1  [U’,[R’:D2]]
C09-B2  [D’,[R’:U2]]
C09-B3  [L’,[U’:R2]]

C13-A1  [[U:R’],L]
C13-A2  [[R:U’],D]
C13-B  [L’,[U’:R’]]

C14-A1  [D’,[R’:U]]
C14-A2  [L’,[U’:R]]
C14-B  [D,[R:U]]         

C17-A  [[R’:U’],D]
C17-B  [D’,[L:U]]
               
C22-1  [[U’:R],L2]
C22-2  [[R’:D],U2]
C22-3  [[R’:U],D2]

C23-1  [L2,[U:R’]]
C23-2  [U2,[R:D’]]

9步区（公式不一定是9步）：

C04  [R2:[[R’:U2],D’]] = [R:[U2,[R:D’]]]
C04  [R:[D2,[R:U’]]]
C04  [U:[L2,[U:R’]]]

C08  [R’:[U2,[R’:D]]]
C08  [U’:[L2,[U’:R]]]
C08  [R’:[D2,[R’:U]]]

C10  [R:[[R:D2],U’]]
C10  [R2:[[R:U],D2]]

C11  [U’:[[U’:L2],R2]]
C11  [R2:[U2,[R:D2]]]
C11  [F’:[L2,[U:R]]]

C12  [U’ R:[U2,[R:D’]]]
C12  [F:[[U’:R’],L2]]

C16  [U’:[L2,[U’:R’]]]
C16  [FR:[U2,[R:D’]]]

C18  [R:[D2,[R:U]]]

10步区：

C15  [F L' :[D2,[L F' L' F]]] = F L' D2 L F' L' F D2 F' L
C15  [U2 R:[U2,[R:D’]]]

C20  [F’:[L’,[U:R2]]]
C20  [F:[D,[R’:U2]]]

C21  [F:[L’,[U:R2]]]
C21  [B:[U’,[R:D2]]]

11步区：

C03  [U2, R’ F’ R2’ F R]
C03  [UR:[U2,[R:D’]]]

12步区：

C19  [U’:[U2, R’ F’ R2’ F R]]

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七、总结

       总而言之，角块三轮换全公式的开发要抓住“三轮换分组”与“8步换位子”两个要点，并按如下步骤编写公式：

(1) 仿照本文所给表格整理好自己缓冲块的角块三轮换分组表格，结合“角块一步setup关系及步数分区图”弄清各组步数分区、组间一步setup关系及镜像关系；

(2) 熟练掌握使用换位子原理编写公式的方法，吃透18个角块8步换位子公式的构造思路与具体形态；

(3) 按组进行角块公式的编写，在8步区中，逐组分析位于该组的8步换位子，结合 (1) 的成果，开发该组的8步换位子的各种整体旋转及多向手法，综合公式速度、旋转幅度等因素，在每组各型选出适合该型的一种手法；

(4) 在9步及以上的区，逐组分析各组情况，结合组间一步setup关系挖掘出合理地setup到8步区的精品解法，或编写稍长但顺手的换位子公式，在每组各型选出该组精品公式中适合该型的一种手法；

(5) 各组各型的公式编写完成后，按组记忆公式，并在实践中不断调整、优化、提高。


       望各位魔友不吝指正。祝大家训练愉快，谢谢！


                                                              123wyx
                                                        2016年12月21日