浅谈4.3×10^19

乌木

六个中心块的相对位置关系不可能变，有一种观察方法是把坐标系建在中心块上，这样，它们对于魔方花样总数无贡献。
转动魔方时，角和棱的变化有多少种？

8个角块，位置有8个，位置不同（不管色向）引起的角态总数为8！种；每个角块有3种不同的颜色朝向，但角的色向不同引起的总数不是3^8种，而是3^7种。因为每次转定了7个角块的方向后，第8个角块的方向就定了，无法单独改变第8个角块的颜色方向（而不影响前7个角块的色向）。

12个棱块，12个位置，位置不同（不管色向）引起的棱态总数为12！（有人说“ 11个棱块也决定第12块的位置，故应为12!×1 / 2 ”，不妥！角块、棱块位置方面的总数要除以2，该另行解释）；每个棱块有2种不同的颜色朝向，但棱的色向不同引起的总数不是2^12  ，而是2^11。因为每次转定了11个棱块色向后，第12个棱块的方向就“死定了”，无法单独改变它。

待续

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-16 21:00 编辑 ]

乌木

此外，在角态和棱态配对成一个个花样时，就各块的位置而言（不管色向），有个重要问题：

一、8！种角态中有8！/ 2 个属于“扰动态”，另8！/ 2 个为非扰动态。同理，12！/ 2 个扰动态棱，12！/ 2 个非扰动态棱。

二、扰动角态只能配扰动棱态，非扰动角态只能配非扰动棱态。
（关于 “扰动” ，请见理论区pengw的文章。）

所以，转动魔方时仅仅由于角和棱位置变化而得的花样数为（8！/ 2）×（12！/ 2）＋（8！/ 2）×（12！/ 2）＝8！×12！/ 2  。

再考虑色向，则转动三阶“纯色”魔方能得到的花样数为8!×3⁷×12!×2¹¹  / 2 （＝4.3×10¹⁹）

顺便说一下，如果不计后果――不管魔方能否复原，任意组装角和棱（当然，六个中心块确定后不再变动），则三阶魔方花样总数就是8!×3⁸×12!×2¹² （＝5.2×10²⁰）。其中1/12（即4.3×10¹⁹） 能复原，11/12不能复原――你对它唱“爱上一个不回家的人……”吧。

Doo

说实话没怎么看懂

但是最后一段的大字看懂了

乱装魔方我是没试验过

但是我试过把中心块的盖子拿掉

打乱魔方，然后还原（盖子还没装上）

最后只剩下两个相邻棱了

是三阶不可能出现的状态

最后结果是……我的相对位置选错了……

说一句题外话：乌兄还听幽默“你对它唱“爱上一个不回家的人……”吧”

乌木

是 8！和 3⁷ 没弄明白吗？

2子占2位：12，21，共2！＝2；3子占3位：123，132，213，231，312，321，共3！＝6；8子占8位：8！＝40320；12子占12位：12！＝479001600 。

任意组装8个角时，8！＝40320种位置态中的任一态拿来，一细看，啊，每一子可以有3向变化，8子有3⁸种色向。故8个子位置和色向都考虑的话，任意组装时有8！×3⁸种花样。

但是一个组装好了的魔方（不管它装对装错），要想经由转动魔方来单独改变一个角的取向，而不牵连另7个角，是不可能的（你不妨试试就知），故8个角经转动、最后各自位置不变的话，仅由各个角的取向改变而得的花样总数为3⁷ ，那最后一个角的取向自由被剥夺了，它只能“听‘七’由命”－－前7个的取向是某种情况时，老八就是取向1，前7个取向是又一种情况，老八就是取向2；前7个取向是再一种情况，老八只能是取向3。可见，它不是不能全部展现自己，而是不能“自主”地展现自己。只要前7个取向已定之后，老八的取向选择总是1种－－三种取向之一，但不是三种任取的。这样，转动魔方时，8个角的取向花样为 3⁷×1＝3⁷。

故8个角位置和色向都考虑的话，经转动所得的花样有8！×3⁷种花样。

2¹¹（而不是2¹²）的由来类同。

还有什么问题，请提出来，我们共同讨论。

[此贴子已经被作者于2006-8-16 9:44:29编辑过]

jasonyang

乌木的数学知识不少啊，佩服。

乌木

1楼和2楼本来没分开，文字不算多，发表时竟报错，不得不分为两块豆腐干发表。何故？别人有的帖子一个楼层内文字显然大于限制数，可还是贴出了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-15 19:59 编辑 ]

乌木

不是我数学知识不少，相反，见了这些排列、组合以及逻辑推理之类的问题，我就怕。上面关于4.3×10¹⁹，我是试着凑pengw兄的答案的，还不知道凑的过程对不对呢。

顺便来凑凑二阶魔方的花样数3674160。仿照上面所述，8个角块能转出的花样数为8！×3⁷＝88179840。

但是，pengw文章说：“偶阶魔方的层转动,可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,偶阶魔方的一个状态有24个同构状态,因此,偶阶魔方状态数的计算结果要除以24.”

我理解这24个同态是，某一花样的二阶魔方，任一面向上时可取4个方向，六个面轮流向上，共24种表观不同的、实际一样的花样。此即24个同态。

88179840/24＝3674160，答案凑出来啦！

问题是，pengw文章说：“边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*3”，好像不对吧？

此式是每考察一个角块，位置可能数和取向可能数一起算的吧？角老大，有8个位置可放，每位3个取向，故老大的状态数为24；角老二，只有7个位置了，每位3个取向，老二的状态数为21……老七，有两个位置呀，其状态数应该是6呀，怎么pengw兄的式子中说“3”呢？老八，仅有一个位置，取向数虽然有3，但不是任意取的，要看前七个角如何，才能也只能3种取向之一拿出来，没有“自主权”！！！故老八的状态数为1×1＝1 。所以，我想，pengw的那句话是否应改为“边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*6*1”？

这样，A才等于88179840，消同态即除以24后，才等于3674160 。

不知我理解得对不对？

乌木

比如，有个合格魔方，老大到老七转动得到8！×3^7种角花样之三种，分别如图一到图三所示，相应地，老八分别只能乖乖地如图所示取向（相应的java图见下一楼）。
当然，其余（8！×3^7－3）个角花样中，老八（其位置，在8个方位中都有机会去）分别所取的方向，总起来说仍然是那三种！只不过它的取向是0°、＋120°还是－120°，要定义一下，理论区pengw文章讲了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-15 20:06 编辑 ]

乌木

第8个角块（红绿白）不得不如此：

 

[此贴子已经被作者于2006-9-30 14:54:35编辑过]

子非鱼

此贴要收藏，进一步研究，顺便帮乌木兄顶，期待更深的研究和收获。