IMO2009试题

superacid

第一天
1.
  n 是一个正整数，设 a[1],a[2],...,a[k] (k≥2) 是 k 个不同的属于 {1,2,...,n} 的正整数，满足 n 整除 a(a[i+1]-1) 对任意 i=1,2,...,k-1 成立。
  证明：n 不整除 a[k](a[1]-1)。
2.
  设三角形 ABC 的外心为 O 。点 P,Q 分别是线段 CA,AB 上的点。设 K,L,M 分别是线段 BP,CQ,PQ 的中点。
  如果直线 PQ 与 三角形 KLM 的外接圆相切，证明 OP=OQ 。
3.
  设 s[1],s[2],s[3],...... 是一个严格单调递增的正整数数列，满足其子数列 s[s[1]],s[s[2]],s[s[3]],...... 和 s[s[1]+1],s[s[2]+1],s[s[3]+1],...... 都是等差数列。
  证明数列s[1],s[2],s[3],......也是一个等差数列。

第二天
4.
  在三角形 ABC 中， AB=AC ， ∠CAB 和 ∠CBA 的角平分线分别交 BC,AC 于点 D,E 。
  设 K 是三角形 ACD 的内心， ∠BEK=45° ，求 ∠BAC 。
5.
  求所有正整数集到正整数集的映射 f ，满足对任意正整数 a,b ，
  存在一个非退化的三角形其三边长为 a,f(b),f(b+f(a)-1) 。
6.
  设 a[1],...,a[n] 是 n 个互不相同的正整数， M 是一个不包含 s=a[1]+a[2]+...+a[n] 的 n-1 元正整数集。
  一只蚱蜢在实轴上跳跃，它从 0 点开始，向右跳跃 n 次，其长度为 a[1],a[2],...,a[n] 的一个排列。
  证明：存在一种跳法，使得蚱蜢不落在任何一个 M 中的点上。


毕竟是IMO试题，有相当的难度，只是发上来娱乐一下，做不来就算了。
中文(简体)版试题出炉了！

中国队以团体总分221分获得团体冠军，韦东奕同学获得42分满分！

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-7-20 07:57 编辑 ]

ZJY

这个是不是国际的数学奥林匹克竞赛试题？好有难度哦

今夜微凉

哇~难题~先看看吧~一天以后如果还是没进展我就放弃~

小波

不是说了不发难题嘛，还发这种…………

溪风

早十年可能会..........晕

superacid

这题目是放着看的，不是用来拼命做的，主要是宣传一下IMO。

123wyx

支持LZ宣传IMO
我先试试平几，那俩题就算了

Osullivan

IMO=I MUST （BE）OVER！
HAHA ~~~~~~~~~

铯_猪哥恐鸣

= =我是不是也来宣传几道IPHO的题目。。。

123wyx

个人功力相当不够啊
感觉今年冬令营的题出得还不错，尤其是平几，活而不难，挺有意思的