浅论魔方不可能出现的情况以及特殊情况

jjuudydy

好久没有来发帖了，最近在忙着考研的复习，之前的系列教程也没有更新，今天先来说一些简单的情况：
很多刚刚学会复原魔方的魔友，以及一些不会魔方的魔友总会出现这样的问题：为什么三阶魔方不会有两棱换或者两角换单独出现呢，而且也不能理解为什么不能单独旋转一个棱块和一个角块。事实上，这些是由魔方的特性决定的，接下来就来跟大家说一说，如何进行判断魔方会不会出现特殊的情况：
首先我们要明确一个概念，奇置换和偶置换，例如三阶魔方，我们做一个U，那么顶层的棱块可以看作是前——右——后——左——前的顺序进行交换，这里出现了五个块（前面的块出现了两次，算两个），我们称其为奇置换；而对于五魔方来说，我们做一个U，那么顶层的棱块可以看作前——右——右后——左后——左——前的顺序进行交换，这里出现了六个块，于是我们就称其为偶置换。对于同一个魔方来说，奇置换与奇置换相加就变成了偶置换，偶置换与奇置换相加是奇置换，偶置换与偶置换相加是偶置换。
明白了基础的置换原理以后，我们先来分析一下：三阶魔方中为什么不会出现单独的两棱换与两角换。
对于三阶魔方，我们将任意一个面旋转90度，对于角块来说是奇置换，对于棱块来说也是奇置换，相加以后就是偶置换了。我们每一步操作都是偶置换。如果我们的魔方是从复原态打乱的话，那么魔方需要的置换一定会是偶置换，也就说明了不会出现单独的两块进行交换这种奇置换的情况。
对于五魔，我们也来研究一下它的置换的奇偶性。我们将任意一个面旋转72度，对于角块来说是偶置换，对于棱块来说也是偶置换，因此在这个魔方当中，不论角块如何，棱块一定不会出现一组对换的情况；反之亦如此。这就说明五魔方不仅一定不会有单独的两块进行交换这种奇置换的情况，也不会出现一组棱块对换和一组角块对换的情况。
这是最基础的判别法，是用来判断一些不可能发生的情况的方法，接下来说一说如何利用规律来解决某些魔方看似不能解决的特殊情况。
第一种，也是最简单的一类方法，那就是魔方当中出现了两个长得完全一致的块，这个时候往往会出现看上去是两块在进行交换，但是实际上还是三块在进行交换，例如我们要做A——B的交换，但是我们发现有一个和A完全一样的块A'，于是我们就可以考虑做A——A'——B的三循环。有很多魔方都可以利用这个技巧。
第二种，我称其为缺少参考系的复原，常见的有两种情况：隐藏中心（要么看不到旋转轴，要么旋转轴不固定），以及混元类魔方。此时我们就要进行分析：
对于空心魔方，我们在复原的时候会出现单独两棱或者两角的对换。此时我们考虑，如果旋转一下中间层，就会发现棱块做了一个四循环，看不见的中心也做了一个四循环，但由于中心看不见，所以我们可以忽略它，此时就相当于对魔方做了一个奇循环，这时候我们再考虑魔方，它就成为了偶循环的情况，就可以解决了。
对于混元类魔方，包括太阳系列魔方，他们当中也是会出现只剩两棱换的情况，此时我们的处理方法就是以最小单位转动一下混元层（含有不同种类的块，并且不同种类的块可以看作等价块）然后再进行复原即可。
这就是我认为的魔方中的一些简单的奇偶理论以及它们的应用，时间仓促，没有配图，看起来会辛苦一点，不过希望大家能够有所收获！

楸楸Q

我来支持樱花大佬啦！

折翼蚂蝗

奇偶性是置换中的重大问题，魔方转动的本质就是小块的置换。总结的不错，特别是“缺少参考系的复原”这个概念提的好。紫荆花五魔好像也是这一类？它的角块中心隐藏了。
高阶五魔没有O特，而六轴高阶有O特。就是因为五魔的转动对于棱块总是偶置换，而六轴（比如通常的四阶魔方）的转动对于棱块是奇置换。

emofunc

这不就是魔方版本的15puzzle问题吗

honglei

big chop也有奇偶性。

tengda

楼主就是魔界破解帝吧，久仰久仰！

zhang2345

魔方破解主要一是找出各种块的三循环，二是处理奇偶性，处理奇偶性最重要是找出原因，我感觉处理奇偶性比找块的三循环难。看过零四五年不少大佬讨论奇偶性的帖子，讨论的非常激烈呀。老大、烟头、乌木大佬应该都比较清楚。

徐二吉

支持大佬，希望有更多这样的帖子来让魔方吧壮大