百慕大三角魔方状态数猜想

hubo5563

百慕大三角魔方虽然所有操作序列不能构成群，但是有如下命题成立：
        保持所有中心是大三角的面的方向不变的所有操作序列构成所有操作序列的一个子集合，这个子集合构成一个群。我们把它叫做中心子群。
        例如：5号百慕大三角魔方：







        它有三个中心是三角形的面，如下操作：
         U3;R4;F2;D'2;F'2;R4;U'3;
         







          就保持三个中心块的三角形方向与初始化一致，它属于保持所有中心是大三角的面的方向不变的操作序列，因此它属于这个群的元素。
         操作序列：U;B'2;U';
         







         也保持三个中心块的三角形方向与初始化一致，它属于保持所有中心是大三角的面的方向不变的操作序列，因此它属于这个群的元素。
          操作序列：
          U3;R'2;F'2;U';L2;U;F2;R2;U'3;
         







          也保持三个中心块的三角形方向与初始化一致，它属于保持所有中心是大三角的面的方向不变的操作序列，因此它属于这个群的元素。
         
           中心群有多少个元素，也就是这个群有多少个等价的操作序列，可以从魔方状态变化推得。
           首先，棱块族的三轮换属于该群：
            u;U';R'2;U2;(F3;U2;F'3;U'2;)5;U'2;R2;U;u';









       角块三轮换也属于该群：
       u;U;R2;F3;U'3;F'3;U3;R4;U'3;F3;U3;F'3;R2;U';u';









        两棱翻色也属于该群：
u;U'2;F'2;U'3;(L'2;U'3;L2;U3;F2;U'2;F'2;U2;)9;U3;F2;U3;(F'2;U2;F2;U'2;R'2;U2;F'2;U'2;F2;R2;)10;U';u';









       还可以在该群中找到两角翻色公式，以及各种属于该群的各种setup。
       因此，5号百慕大魔方的保持三个中心块的三角形方向与初始化一致的所有状态包括角块族的位置的偶排列全体，以及棱块族所有位置的偶排列全体，以及棱块的所有色向的一半，角块的所有色向的三分之一。如果还包括一对角块和一对棱块的兑换，状态数就是：11！×3的10次方×9！×2的8次方÷2=109481633288552448000
       这只是构成中心群的所有状态，没有包括三角中心块的变化。实际上每个中心块方向的变化，就有一类这个方向的状态，可以用相似变换得出。共有多少种中心方向的变换，就有几倍这个状态的状态。
       如果魔方有两两相邻的三角中心面，让第一个三角面能随意转动，有8种状态，那么第二第三三角面就不能随意转动。可保证第一面不受限制，第二第三面只有5种。这样共5×8=40种，同样可保证第二面不受限制，第一第三面只有5种，也有40种。第三面不受限制，第一第二面只有5种，也有40种。这样，共有120种。这120种分三集合，其中还有公共部分，两个集合的公共部分是9个，所以减掉9×3=27，而三个集合公共部分只有一个，需加上，所以共有120-27+1=94钟，所以这个魔方的总状态数应该是：
       94×109481633288552448000=10291273529123930112000=102912.7亿亿，比3阶魔方状态数还多。
       所有有两两相邻的三角形中心面的都是同构异型的，因此都有10291273529123930112000个状态。
       另一种三个大三角面的魔方，也有11和角块族，9个棱块族，中心子群也有109481633288552448000种，中心块有多少种变化？
       首先组成这种魔方的大三角中心面排成一个链，链的两端的面要想随意转动，必须中间的面不能卡，也就是中间面有三种状态。而这三种状态的那一种都卡住了链的另一头，另一头只能三种方向，因此，链的一头可随意转动的状态有3×3=9种，链中键的面如果要随意转动，两头的就不能卡，每头不能卡的只3种，并且两头是独立的，因此，链中间那面随意转动其他连端共3×3=9种状态。我们构造3个集合，每个集合是让一面能随意转动的，这样每个集合有8×9=72个状态。三个集合有72×3=216种。1,2个集合公共部分有3×3×3=27种，实际这27个是三个集合的公共部分。重复加了3次，应该减掉2×27=54个，所以互不相同的状态有216-54=162个。
      魔方总状态数为162×109481633288552448000=17736024592745496576000=177360亿亿种

      有两个三角中心的魔方，有10个棱块，有10个角块，它们最小排列也为三轮换，棱块和角块的最小方向变化是同时翻转两块，也有同时交换一对角块和一对棱块的状态，所以有10！/2×10！/2×2^9×3^9×2=66352505023365120000种。
      两个三角中心面如果相对，互不干涉，每个都能随意独立转动，因此有64种状态，魔方总状态为：
      64×66352505023365120000=4246560321495367680000种。
      两个三角形中心面相邻，就不能随意转动了，第一个面要随意转动，第二面只有三种状态，同样第二面要随意转动，第一面有三种状态。第一面随意转动为一个集合，第2面随意转动另一集合，两集合共有48种。而有9种共有，相当多加了9种，因此应该有48-9=39种。魔方的总状态数为：
     39×66352505023365120000=2587747695911239680000种。

     有一个中心三角形面的魔方，有9个角块，11个棱块，它们最小排列也为三轮换，棱块和角块的最小方向变化是同时翻转两块，也有同时交换一对角块和一对棱块的状态，所以有11！/2×9！/2×2^10×3^8×2=48658503683801088000种。三角中心面有8个方向，所以魔方总共有：
    48658503683801088000×8=389268029470408704000种。
    没有三角形中心面的魔方等价普通的三阶魔方，共有43252003274489856000种。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2011-6-15 09:01 编辑 ]

大烟头

我计算这魔方总状态数的方法大致也是这样，就是表述略有不同。

三角形中块方向不变情况下的总状态数计算会容易一些，如果包含三角形中块方向变化的总状态那就很复杂了。

我计算总状态数时，一般是：

1、先判断魔方有几个簇。
2、计算簇内块位置变化总状态数与簇内块的色向变化总状态数。
3、最后还要判断下是否有簇间扰动变化。

http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=77032&extra=&highlight=&page=2



这魔方有三个簇：中块簇、角块簇、棱块簇。如果三角形中块位置方向是固定的，以中块为参照去计算总状态数就行了。

首先要证明所有角块是同属一个簇，如

         








变化产生一个4棱环、一个4角环，这就说明这4个棱是属同一个簇，那4个角也同属一个簇。

最后可以判断出这魔方所有棱块是同属一个簇，所有角块也是同属一个簇。





如图可看出，百慕大三角魔方上有3个三角中块时，角块簇里是有11个角块，棱块簇里有9个棱块。

大烟头

1、角块的最小簇内变化为三角环：










因此角块（角块簇有11个角块）的位置变化总状态数：11！/2

2、棱块的最小簇内变化为三棱环：










因此棱块（棱块簇中有9个棱块）的位置变化总状态数为：9！/2

大烟头

3、角块最小色向变化：为两个角同时色向变化：










就是说11个角块中，当10个角的色向已经确定后，最一个角的色向是没得选择的。每个角块有3个色向，因此

角块色向变化总状态数为：3^10

4、棱块最小色向变化：为两个棱同时色向变化：










就是说9个棱块中，当8个棱的色向已经确定后，最一个棱的色向是没得选择的。每个棱块有两个色向，因此

棱块色向变化总状态数为：2^8

5、簇间变化：角块的簇内位置变化是三角环（三个角块位置变化），当角块位置只产生两角环时必然会出现棱块位置产生两棱环，










也就是说角块簇与棱块簇之中可以有一簇的块位置为全排列来计算，所以要*2

总的状态数应该是：（11！/2）*（9！/2）*（3^10）*（2^8）*2

hubo5563

（11！/2）*（9！/2）*（3^10）*（2^8）*2=109481633288552448000
与我估计的一样。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2011-6-12 18:25 编辑 ]

hubo5563

具有四个大三角面的百慕大三角魔方，从同构异型分类只能是一类，我们用21号做模型，来分析一下它的中心子群有多少个
元素。
        四个大三角的百慕大魔方有12个角块，8个棱块。角块在角块位置上随意转动，最小是三轮换，可以找到三角块的轮换公式：
        三角轮换：









因此，角块族有12！÷2种排列。
        由于同时可以翻两角，公式如下：
        两角翻：









       所以，角块色向变化数为3^12/3=3^11。
        由于具有四个大三角面的百慕大三角魔方正方形中心面是无法转动的，也就是橙面和绿面无法转动，所以，橙绿面的公共棱
块是固定不动的。其它棱块随意可调，最小变化为棱块三循环：
棱块三轮换公式：









所以，棱块的排列数为7！/2
由于棱块任意两个都能翻色，不能单独翻一个棱块。
翻两棱









        所以，棱块色向有2^6种。
       由于正方形中心面不能转动，三角中心面在中心子群是相同的，所以，不会产生棱块和角块之间的族间扰动。
       因此，具有四个大三角的百慕大三角魔方中心子群状态数是
       (12！/2)×3^11×（7！/2)×2^6=6842602080534528000。
       也就是说，保持魔方中心方向不变的总状态数是6842602080534528000。
        具有四个大三角面的百慕大三角魔方，从同构异型分类只能是一类，我们用21号做模型，来分析一下它有多少种可转出的三
角朝向。
        我们用四元组{a,b,c,d}表示具有四个大三角面的三角面朝向状态，分别表示{红，白，黄，蓝}四个面在初始状态逆时针转动多
少个45度角。
       例如，初始态为{0,0,0,0}，蓝色转动逆时针135度表示为{0,0,0,3}。
       首先分析一下蓝色面可以自由转动时，有多少种状态。
       要想蓝色面可以自由转动，必须和它相邻的三个大三角面不能卡，从理论上讲，每个面只有转动到三角形边和蓝面平行时才能
不会卡的。每面只有三种情况。最多就是3×3×3=27种。然而，这三个面实际是相邻的，相互也有卡的现象。如果黄面可转出三态
，那么红色大三角必须有一边平行黄面，一边平行蓝面，这只有1种状态，即红色三角两个直角边和蓝黄面平行。此时，白色大三
角形也被蓝面和红面唯一确定。因此有三种状态。如果红面可转3态的话，黄面和白面的三角形也必须同时有平行红面和蓝面，这
时也只有一种情况，也三种状态。同理，如果白色面可以转三态，红面黄面也只能有一种状态，又有3种状态。而这九种状态中，
红面转三态和黄面转三态有一种共有，红面转三态和白面转三态有一种共有，多算了2种，因此共7种状态。这7种状态蓝色面是可
以自由转动的，蓝面可转8种状态，因此总转动是56种。
第一组，蓝色可自由转动的有如下状态共7组，每组8个，56种状态：
{0,0,0,X}-8
{0,0,2,X}-8
{0,0,5,X}-8
{2,0,2,X}-8
{2,2,2,X}-8
{2,5,2,X}-8
{5,0,2,X}-8
      再分析一下黄色面可自由转动时有多少种状态。
      想要黄色面自由转动，红蓝两面的大三角不能卡，因此，红，蓝面必须有平行黄面的边，由于白色面在黄色面的对面，红蓝面
的大三角边都不会平行白面，只有白色面的大三角的边有平行红色面和蓝色面，这样只有一种状态。红面可转出三态时，蓝面必
须有同时平行红面和黄面的三角形边，这样蓝面只能一种状态，同理，蓝面可转出三态时，红面必须有同时平行蓝面和黄面的三
角形边，这样红面只能一种状态。这样有六种状态，但有一种公共状态，因此实际有5种状态。这5种状态黄色面是可以自由转动的
，黄面可转8种状态，因此总转动是40种。
第二组，黄色可自由转动的有如下状态，共5组，每组8个，共40种状态：
{0,0,X,0}-8
{0,0,X,2}-8
{0,0,X,5}-8
{3,0,X,0}-8
{6,0,X,0}-8
      同黄色面一样，可以分析白色面任意转动的状态是40种。
第三组，白色可任意转动的有如下状态，共5组，每组8个，共40种状态：
{2,X,2,1}-8
{2,X,2,4}-8
{2,X,2,6}-8
{4,X,2,6}-8
{7,X,2,6}-8
     同蓝色面一样，可以分析红色面任意转动的状态是40种。
第四组，红色可任意转动的状态，共7组，每组8个，56种状态：
{X,0,2,0}-8
{X,0,4,0}-8
{X,0,7,0}-8
{X,3,2,6}-8
{X,6,2,6}-8
{X,0,2,3}-8
{X,0,2,6}-8
     这4组转动状态有重复，重复如下：
第二组和第一组重复的有：
{0,0,0,0},{0,0,0,2},{0,0,0,5}
{0,0,2,0},{0,0,2,2},{0,0,2,5}
{0,0,5,0},{0,0,5,2},{0,0,5,5}
共9种状态
第三组和第一组重复的有：
{2,0,2,1},{2,0,2,4},{2,0,2,6}
{2,2,2,1},{2,2,2,4},{2,2,2,6}
{2,5,2,1},{2,5,2,4},{2,5,2,6}
共9种状态
第三组和第二组重复的没有
第四组和第一组重复的状态有
{0,0,2,0},{2,0,2,0},{5,0,2,0}
{0,0,2,3},{2,0,2,3},{5,0,2,3}
{0,0,2,6},{2,0,2,6},{5,0,2,6}
共9种状态
第四组和第二组重复的状态有
{0,0,2,0},{3,0,2,0},{6,0,2,0}
{0,0,4,0},{3,0,4,0},{6,0,4,0}
{0,0,7,0},{3,0,7,0},{6,0,7,0}
共9种状态
第四组和第三组重复的状态有
{2,0,2,6},{4,0,2,6},{7,0,2,6},
{2,3,2,6},{4,3,2,6},{7,3,2,6},
{2,6,2,6},{4,6,2,6},{7,6,2,6},
共9种状态
第一组、第二组、第三组重合的没有
第一组、第二组、第四组重合的如下：
{0,0,2,0}
共1个
第二组、第三组、第四组重合的没有
第一组、第三组、第四组重合的如下：
{2,0,2,6}
共1个
四个组都包括的状态没有。
因此，根据加法原理，总状态数为：
56+56+40+40-9-9-9-9-9+1+1=149
四个大三角的百慕大三角魔方的中心群有6842602080534528000种状态，所以魔方总状态数为：
149×6842602080534528000=1019547709999644672000
它是三阶魔方总状态数43252003274489856000的23.572265625倍。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2011-6-24 17:08 编辑 ]

hubo5563

！！！
        有4个中心是大三角的百慕大三角魔方很有趣，总共26块，有两个面不能动，可旋转的面最多4个。然而每一步最多只有3个面能转动，实际上多数状态只能2个面旋转。打乱这个魔方都不容易。还有一个棱块始终不动，相当能动的只有23个块，怎么也想不到总状态数比3阶魔方总状态数还多，是普通3阶魔方的23倍。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2011-6-24 17:21 编辑 ]

honglei

我对理论方面比较白痴.
百慕大的状态跟中心块有很大关系.如果3阶魔方的状态算上中心块的朝向的话,
应该是普通3阶魔方的多少倍呢?

hubo5563

三阶魔方中心块4个方向，有6个面，总共4^6=4096，但是，每次不能单独转90度，所以应该是总数除以2，2048倍。
但是三阶魔方转动不受任何限制，百慕大三角魔方处处受限。如果限制三阶魔方两个相邻面不许转动，总状态数是1802166803103744000
算上方向数230677350797279232000是普通三阶43252003274489856000的5.3倍。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2011-6-24 18:00 编辑 ]

honglei

看来还是三阶魔方的状态数多一点.
毕竟百慕大的方块没有三阶的多.