二阶齿轮（Gear Shift）介绍，附解法

Cielo

背景介绍：

前几天，在微博看到一个gif图，大致和这个视频里差不多，当时就想到了二阶齿轮魔方。
这条微博的回复里面，有魔友（好像是豆钉？）说二阶齿轮不是魔方，我同意他的看法，参见我以及SMAZ大师的回帖。为什么这么说呢？待会我会说说我的理解。

二阶齿轮在小懿介绍 Oskar 的帖子里已有提及，不过他的帖子内容很多，所以不可能每一款魔方都详细介绍，我这里就有可乘之机来稍微补充一下了。

说回上面那个神奇的东西，我找了一下，发现是日本的 Haruki Nakamura 原创的纸模型，叫做 Gears Heart，而他还做过一个 Gears Cube！
纸模型的制作方法可以在网上找到，Gears Heart、Gears Cube~


后来在TP上找到Oskar自己介绍 Gear Shift 的帖子，他说这款魔方是基于 Bram Cohen 的想法，转动方式会让人想起  Haruki Nakamura 的那两个纸模型，而拉伸的机制以前在大烟头的介绍 Magic Ball 的帖子里也出现过。

这款魔方最早只能在 Shapeway 上买到，后来 Meffert 量产了。这里要说一句，M 授权国内生产的齿轮魔方，居然在包装上写齿轮魔方是Meffert发明的，实在是无语……

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转动方式：（下面都是借用Oskar的图）

它有8个角，其中4个大角（有8齿），4个小角（有5齿），大小角交错分布。由于外形很像二阶，所以形象地被称为“二阶齿轮”。
可以从三个方向拉开它，拉开之后，每一半的4块能一起转动。
从上下方向拉开
再旋转上半部分
然后再把它合拢
从左右方向拉开
…完全打乱之后

所有8个角都只能原地转动，也就是只有方向能变化，位置是不会变的，这是 Gear Shift 不能称之为“魔方”的原因之一。
原因之二，我觉得这跟原因更本质一些，就是 Gear Shift 满足“交换律”！

一般的魔方都是不满足“交换律”的，比如三阶，做 RU 和 UR 肯定会产生不同的效果，这是因为 U 层和 R 层之间有相交块。
我们从复原态先做 RU，如果接着做 RU 的逆，那当然回到复原态了；但如果交换一下顺序，做 UR 的逆，会得到 RU(UR)'=RUR'U'，这是一个 commutator，而在群论中，commutator 就是用来刻画交换性的。

但 Gear Shift 却不一样。这个“魔方”的所有转动都是可随意交换次序的，也就是 RU=UR，U3 R2 F5 L4 = L4 U3 F5 R2……这里说下我对于UDLRFB的定义。
U 表示先从上下方向拉开，然后将 U 层的一个大角顺时针转动 1 个齿（360°/8=45°），再合拢。此时 U 层的两个大角都顺转 1 齿，两个小角都逆转 1 齿。
其余的都类似定义。

我们可以用一组数字来描述  Gear Shift 的状态，就和三阶盲拧四步法中对角块方向的描述差不多。
可以想象成每个角块上标了一个数字，用来表示这个角块离复原态有多远，比如：
0表示该角块方向正确，已经是复原态；1表示该角块处于从复原态转动1个齿（大块是顺时针，小块是逆时针）所到达的状态。这样大块的状态可能是0~7，小块是0~4.

以右图为例
黄色为 U，蓝色为 R，橙色为 F，那么这个状态是 7 个角已经复原（即这些角块状态为0），只有 URF 角（小角）逆时针转动了 3 个齿（即该角块状态为3）。

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解法：

举个最简单（也可以说最复杂）的例子吧！现在的打乱状态是 7 个角已经复原，只有 URF 角（小角）逆时针转动了 1 个齿（即该角块状态为1）。

下面开始一个神奇的步骤——设未知数、解方程！

设从该打乱态复原需要转动 u次U，d次D，l次L，r次R，f次F，b次B，

考虑URF角，只有转U、R、F时这个角会变化，转完之后到达复原态，所以
1+u+r+f=0(mod5)，
其他块的初态和末态都是复原态，所以有
u+l+b=0(mod5)
d+l+f=0(mod5)
d+r+b=0(mod5)
u+l+f=0(mod8)
u+r+b=0(mod8)
d+r+f=0(mod8)
d+l+b=0(mod8) //这里 mod 表示同余，即 右边=左边除以5（或8）之后的余数。

解这个方程可得一组解（其实是有无穷多组解的，找个比较简单的就行）：
d=l=f=0，u=-8，r=-8，b=8
也就是说：摆放魔方使得URF位置是小角，此时只需要逆时针转 U 层一个大角8个齿（恰360°）、逆时针转 R 层一个大角360°、顺时针转 B 层一个大角360°，就可以实现只顺时针转URF小角一个齿（360°/5=72°）的效果。而且上面三个转动步骤的先后顺序是无所谓的。

类似地，摆放魔方使得URF位置是小角，此时只需要逆时针转 U 层一个小角5个齿（恰360°）、逆时针转 B 层一个小角360°、顺时针转 L 层一个小角360°，就可以实现只顺时针转 URB 大角两个齿的效果。

以上两个“公式”就可以解出二阶齿轮了。当然，实际复原时还是先用层先法，最后几个角的时候再用公式会快一些吧。

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留个思考题：能否出现只有 1 个大角转了一个齿，其它 7 个角都复原的状态？

schuma

你有这个东西的实物么？我知道这个理论，不过倒是想在实物上试试。真拿着这个东西的话我大概不会去解方程寻找解答的。顶多是把高斯消去之类的方法变成一个步骤来做。

我在给那个关于commutator的讲座的时候，Bram Cohen 也坐在观众里。完了以后他就拿出这个东西说事。应该说他本人还是很喜欢这个玩具的。

思考题：不会出现。只看大齿轮的话，由于任何旋转都会转偶数个大齿轮，所以所有大齿轮的状态之和一定是个偶数。而且模8的时候也是分奇数偶数的。如果把这个命题往小齿轮上套的话，得不到任何结论，因为模5的算术是不分奇数偶数的。

[ 本帖最后由 schuma 于 2012-3-30 06:45 编辑 ]

耗子哥哥

话说啊……在魔方收藏讨论一个你认为不是魔方的东西，还专门进行论证，这应该算是一个悖论？

大烟头

个人认为有多个转层，转层间有相交块会产生位置变化的才算魔方。这二阶齿轮不合这条件。

附上一个在淘宝上看到的二阶齿轮的纸模

Cielo

原帖由 schuma 于 2012-3-30 06:14 发表
你有这个东西的实物么？我知道这个理论，不过倒是想在实物上试试。真拿着这个东西的话我大概不会去解方程寻找解答的。顶多是把高斯消去之类的方法变成一个步骤来做。
...

有实物，我试过了
嗯确实不需要解方程的，我是解出来之后发现找到的解其实比较直观，应该是能直接想出来的。

原帖由 耗子哥哥 于 2012-3-30 09:14 发表
话说啊……在魔方收藏讨论一个你认为不是魔方的东西，还专门进行论证，这应该算是一个悖论？

移到别的区也可以啊！
另外，引用一下“本版规则
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原帖由 大烟头 于 2012-3-30 09:43 发表
个人认为有多个转层，转层间有相交块会产生位置变化的才算魔方。这二阶齿轮不合这条件。

附上一个在淘宝上看到的二阶齿轮的纸模
177951

那么有些滑动类的也算魔方吗？比如巴比伦塔、匈牙利环。

想起来这个纸模的图烟头以前在群里发过的，我居然忘记了

[ 本帖最后由 Cielo 于 2012-3-30 10:19 编辑 ]

Vicki

烟头发的齿轮纸模和量产的二阶齿轮有区别~

aqianaqian

这篇文章写得好。

文章中的情况，小齿逆转三齿等于顺转两齿，
偶数就好办，把这个“顺转两齿”分解到R、U两个面，各操作同样的方式，目的是两次让该小齿各逆转一齿，它就回去了。
这个不用算，直接操作即可，转R面大齿360度，看几次能让小齿逆一下，那么U面也几次，它就又逆了一下。
然后B面大齿反转那些次，把肯定会相同转数的两个新小齿抵消。

大齿只能转偶数齿，拍一张看看。

schuma

这个东西就跟魔表性质一样吧：都属于交换的，零件只能旋转的谜题。要是可以讨论魔表，就可以讨论这个吧。

way85

C罗解法取胜，哈哈，不过齿轮真的是我比较喜欢的魔方，除了砖，呵呵

otischeng

C羅的解法很高深, 有點不太明白......

嗯. 收藏區確實可以展示與魔方相關的東東沒錯~不過C羅展示的都是轉來的照片啊 要是用自己拍的照片就更好了

不過不管怎麼說, 確實是很不錯的展示. 把Gear Shift的背景, 設計師, 機械原理及解法都介紹得一清二楚, 頂一個!