[原创]不定幻方

邱志红

不定幻方

幻方是一种填数游戏。这种游戏最早起源于我国。传说距今 4 千多年的夏禹王治水时，河南洛水里浮出一只大乌龟，背上有一个祥瑞的图形，这就是洛书。
洛书是一种最古老的幻方。现在幻方成了一门应用广泛的科学，它在程序设计、组合分析、实验设计、人工智能、图论、博奕论等都得到了应用。
幻方就是将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个基本数字填到3×3的九个格子中使每行、每列和两个对角线上的 3 个数之和相等，等于 15。如下图：

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│ 4│ 9│ 2│
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│ 3│ 5│ 7│
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│ 8│ 1│ 6│
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幻方经过多年的发展，现在已经衍生出许许多多的新花样了，如反幻方，颠倒幻方，三角幻方，五星幻方，六角幻方，七星幻方，高阶幻方，到最后发展到了立体幻方等等。
这里不对上面提到各种衍生出的幻方做详细说明与介绍。回到标题上来“不定幻方”，顾名思义就是该种幻方有些地方是不确定，比如最先可能想到的就是每行每列及对角线上的数字之和不是一个确定的数，导致有多种答案等等。

在网页上贴这个文档不大方便，浏览也不方便，贴了个主要部分。建议还是看原始的Word版本。下面：

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2006-8-31 09:47:00 上传

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[原创]不定幻方

[此贴子已经被作者于2006-8-31 9:49:26编辑过]

邱志红

好了，下面我就对我设计的不定幻方做一个详细的介绍。
它是以上面最普通的幻方为蓝本设计出来的，看起来与普通的幻方一样。也是九个格子外加九个数，但玩法变了。灵感来自于九色魔方和九支的鲁班锁，填的时候拿去了某个数或某几个数，而且九个格子中空的位置也是不确定的。
但是有一条不会变：就是要使每行、每列或和对角线上的 3 个数之和相等。注意是“3”个数
特别强调：某行、某列或和某对角线上的数不足三个话，这样的行，列或对角线不满足要求，它们的和数就不加要求。
举个例子：
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│ 3│ 7│ 2│ │ 4│ 3│ 6││ 5│ 6│ 3│ │ 6│ 2│ 7│
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│ 8│   │ 4││ 8│   │ 2│ │ 1│   │ 7││ 1│   │ 5│
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│ 1│ 5│ 6│ │ 1│ 7│ 5│ │ 8│ 2│ 4││ 8│ 4│ 3│
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验算一遍，你会发现上面四个幻方中每边三个数的和相加是相等的，分别为12，13，14，15。
为了叙述的方便，现约定：不定幻方中每行，每列或对角线上三个数的和相等，这个相等的数就暂称为“和数”。
这就是不定幻方的第一个不定：和数不定。和数不定一定程度上就使得幻方的答案更加丰富多样，而不会像普通幻方一样单调了。

邱志红

再看一个例子：
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│ 1│ 9│ 4│ │ 5│ 6│ 3│ │ 2│ 9│ 3││ 1│ 7│ 6│
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│ 8│  │ 3│ │ 1│   │ 7│ │ 4│  │ 6│  │ 4│  │ 5│
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│ 5│ 2│ 7│ │ 8│ 2│ 4│ │ 8│ 1│ 5││ 9│ 2│ 3│
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验算发现上面四个幻方和数一样，都是14。仔细一看，就会发现所用的数字不一样，或者说拿去的那个数不一样。分别那去了6，9，7，8。
这就是不定幻方的第二个不定：元素不定。元素不定给幻方填的元素极大的可选性，大大提高了幻方的可玩性，而不会像普通幻方一样一口气就把所有的数都用上，没有留一个做备用。

邱志红

还看一个例子：
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│ 8│ 4│ 2│ │ 5│ 6│ 3│
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│ 1│ 7│ 6│ │ 1│  │ 7│
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│ 5│  3│   ││ 8│ 2│ 4│
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验算发现，上面两个幻方的和数都是14，用的元素也是一样的。唯一就是空位留的位置不一样，一个在角上，一个在中心。
这就是不定幻方的第三个不定：空位位置不定。空位位置不定进一步增加了不定幻方的耐玩性。不像普通幻方一次填满九格，不留余地，一下就山穷水尽了。

邱志红

不定幻方的第四个不定就是：空位数目不定。有空一位就自然有空两位甚至空三位的，但是再空多了或者空位排布不佳的话，又会降低甚至完全没有难度，这些都是应当避免的。特别的，空0位的即不空也包含在内,空三位（下例）等同于三角形的幻方。
还是来看两个实例：
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│ 1│ 5│ 6│ │ 5│ 3│ 4│
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│ 7│ 2│ 3 ││ 1│ 2 │  │
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│ 4│   │    ││ 6│    │  │
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上面几个不定就是不定幻方的魅力所在。当然也有非常遗憾的事情发生：
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│ 1│ 9 │ 2││ 2│ 9 │ 3││ 1│ 6 │ 8││ 3│ 5│ 8│
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│ 8│    │ 6││ 4 │   │ 6││ 5│   │ 3│ │ 4│  │ 2│
┝━┿━┿━┥┝━┿━┿━┥┝━┿━┿━┥┝━┿━┿━┥
│ 3│ 5│ 4││ 8│ 1│ 5││ 9│ 2 │ 4││ 9│ 1│ 6│
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上面四个幻方所用的元素，空位数目及位置都一样，和数分别位12，14，15，16。惟独没有13，因为在这种情况下和数为13的是填不出来的，也就是无解，这样现象还在别的情况下发生。虽然遗憾但事实就是事实，解剖图不是美术。
这就是不定幻方隐藏着的第五个不定：有解无解不定。经常出现解的和数中间断掉的情况，也就是解有时不是连续的。
第五个不定虽然破坏了不定幻方的完美性，但从另外一个角度来看，残缺也是一种美。

乌木

会编程的人大概还可用电脑算，求得某一题的所有解的吧？

whitetiger

空位在中心时，事实上只保证了四边的和相等，与真正的幻方差距很远（至少要求3行3列和相等，甚至2对角线和相等）。

空位在边上时，从举的例子看，与空位在中心是同构的，只是交换了位置而已。

如果空位有2个，和相等的行列数更少！根本就不是一回事了！

几点看法：

1、去掉9，相当于做一个0～8的幻方，仍可以做到3行3列2对角线相等；

2、对于任何一个和，可以看看它如何分解成1～9中3个不同数字之和，之后就能做出所谓的“不定幻方”。

（没试过，但应该如此。）

邱志红

行列或对角线都限定三个元素求和，这样可以达到一种平衡性。可以理解为“和数”分配到行列或对角线三个数上的权值是相等的。如果令两个数（缺一位）与三个数相等，分配到每个数上的权值就不等了，破坏了幻方的平衡性了。

有一个办法可以弥补这个缺憾。就是计算权值，比如某行有三个元素，求它们和的平均值就是每个元素的权值，只有两个元素或一个元素的行列或对角线的也这样计算。最终要求所有元素的权值一样。这样的幻方平衡性最好，但也最难填。

[此贴子已经被作者于2006-9-1 12:17:09编辑过]