一个奇特的素数筛选的矩阵

ggglgq

一个奇特的素数筛选的矩阵
    请大家看看下面的这个对称矩阵：
       4     7   10   13   16   19   22 ......
       7    12  17   22   27   32   37 ......
      10   17  24   31   38   45   52 ......
      13   22  31   40   49   58   67 ......
      16   27  38   49   60   71   82 ......
        ... ...  ...  ...  ... ...  ... ...
    规律是显然的：第一行公差为 3 ；第二行公差为 5 ，...
    这个对称矩阵有什么用呢？
    这就是森德拉姆（Sundaram，1934）素数筛法矩阵，如果一个自然数 N
出现在矩阵当中，那么 2*N+1 是合数；反之若 N 不在表中出现，则 2*N+1
肯定是素数！
    这么神奇的矩阵，奥妙在哪里呢 ？

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-6-29 11:15 编辑 ]

ggglgq

其实原理很简单！

让我们来分析一下：显然，矩阵的第i行、第j列的通项为
2(i-1)(j-1)+3(i-1)+3(j-1)+4
因此若N在表中的i行j列出现，则
2*N+1=2（2(i-1)(j-1)+3(i-1)+3(j-1)+4）+1
=(2(i-1)+3)(2(j-1)+3)
显然是一个合数。
假设2*N+1是合数，那么肯定存在奇数m,n满足2*N+1=m*n,并且
m>=3,n>=3, 那么，
N=(m*n-1)/2=((2*((m-3)/2)+3)(2*((n-3)/2)+3)-1)/2
根据通项公式，N应该出现在矩阵的(m-3)/2+1行，(n-3)/2+1列。
因此若N在表中不出现，则2*N+1必为素数！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-6-29 11:17 编辑 ]