对四维空间的思考

锻炼中的哑铃

（本文中有很多遗留的问题，不过，我主要是想表达想法，如果大家有兴趣可以进行解答。）

    自从上一次总结已经经过了较长的时间，虽然在此过程中我也尽量进行了思考，不过进展缓慢，原因有几个：我们生活在三维空间、深入后发现对四维空间的思考方向很多，有一些相互重叠，常常使人不清楚方向、需要代数知识的帮助。

    大致总结了一下最近想到的方向：四维空间中的几何（包括了旋转、垂直、不同结构间的位置关系、对空间的确定等）、空间的曲率、作图的自由度。其实开始只是想探究一下四维空间中的几何，不过引伸出了其他方向，我准备大致说一说我的粗糙想法，仅供参考。

    我起初准备从四维空间中的两条直线的位置关系开始，不过发现在此之前需要对四维的图形的更多的了解。其实可以发现两直线交于一个点，两平面交于一条线，可以猜想两个三维空间交于一个平面，这也可以从另一个方面加以解释：两个平面相交可以看成从一个平面中延伸出另一个，而线动成面，所以从此平面上取一条线（顺便说一下，这里所说的几何体都是“直的”）沿某个方向平移（当然此方向不能是得到原平面的方向），得到一个与此平面相交的平面，那么因为三维空间由平面平移形成，所以在一个三维空间中取一个平面，沿四维空间中的某方向平移，得到与之相交于一个平面的三维空间。那它是什么样的？这个平面应该向什么方向平移？从二维的情况可以看出，平面内的直线沿着三维空间中的某个方向平移，我们用平行于该平面的平面去截作出的平面，得到的是与改直线平行的直线，所以用与该三维空间“平行”的三维空间去截，得到与该平面平行的平面。但是，什么是四维空间中的平行？我想，可以把图形放入坐标系，坐标轴为X、Y、Z、T，将T看作多出的那个延伸方向。我们取的初始三维空间为X、Y、Z、0，即T=0时的空间，而如果类比一下二维中直线的方程到三维中平面的方程过渡，暂且猜想n维中n-1维空间的方程是Ax+By+Cz+Dt+···+Np+M=0，其中，从Ax到Np共有n个项，小写字母代表变量。那么四维空间中三维空间方程是Ax+By+Cz+Dt+E=0，取A、B、C、E=0，D≠0，我们就得到了刚才所说的初始三维空间。那么与之平行的三维空间，便由A、B、C=0，时E变化，所代表。在初始三维空间中取了一平面，延伸，用E变化后的空间去截，得到与之平行的，在其他三维空间中的平面，图形上表示出来，便是在E变化后的空间中作此平面，截出来的，就是在此空间中与之平行的某个平面。那么是哪个平面？这取决于平面平移的角度。到这里时，我遇到一个问题，从三维空间，我们可以看到，平移一条直线，不管延什么方向，我们从那个方向看过去，是看不到这个平面的，那么，换句话说，想像一个平面，取一直线，如果它沿着平移的方向的方向向量在此平面内，那么平移出的，就是同一个平面，而此方向向量的方向有无数个，如果在直线上取一个定点，此向量可以绕它在此平面内旋转。如果想找出一个平移出的平面和本平面不同的，方向向量就得跳出此平面，我想说的其实就是真正对平移结果起作用的只是方向向量在此直线上的竖直分量，水平分量是不起作用的。那么就涉及到垂直问题，平面怎么平移时方向算垂直？我暂时没怎么找到头绪，不过可以先思考一下三维空间之间的垂直，类比三维空间中的平面，我们可以发现，z=0的点所组成的平面与x=0的是垂直的。那么在四维空间中，t=0的三维空间和x=0的应该也垂直，其实这里可以这么看，我们想象不出四维空间，研究它时只能看到三维空间，这相当于将四维空间的一个方向压缩，而这个压缩的方向是任意的。那么t=0的三维空间在我们眼中看到的是x、y、z三个坐标轴，x=0在我们眼中就是y、z、t三个坐标轴，我们看到了延伸出去的t轴！事实上，x轴被压缩了，在x=0这个三维空间里去不同的t值所代表的平面其实就是t取不同值时，整个四维空间中重叠的不同三维空间的YOZ平面。但是即使如此，垂直的概念还很模糊，其实我们可以看到，垂直的三维空间所交出的平面没有任何特殊性，要研究垂直，困难在找到它的特殊性的表现方式，也需要借助代数、向量。

     接着随着上课时同桌的一句话，我意识到四维空间中，直线是可以绕着一个平面旋转的（顺便提一下，四维空间中的直线用三维空间去截，得到的是一个个点）。对于这一点，我只有个大致的，初步的想法：同样的，我们可以先考虑特殊情况，即t=0的三维空间中的z轴所在直线绕XOY平面在四维空间中旋转。旋转过程中，它一直与XOY垂直，在此，可以类比猜想，四维空间中与一平面垂直的直线应该也垂直于与该平面平行的平面。那么，首先，z轴不可能在t=0内旋转，那么它一定进入了不同的三维空间，在那些空间中，它一直与其中的与t=0的XOY平面平行的平面垂直，对此，我只能建立大概印象，也许用代数工具会有较大帮助。不过，四维空间中，垂直于一平面的直线有无数条等因维度上升而带来的三维空间的拓展的结论应该可以得出。

    这几天，我对代数在此探索中的应用做了一些思考。（以下说的n维体都是“直的”）两点确定一个一维体，三个不共一维体的点确定一个二维体，四个不共二维体的点是不是确定一个三维体？n+1个不共n-1维体的零维体是不是确定一个n维体？q个不共p维体的m维体的情况又如何？如果从几何方面考虑，过三点可作一个平面，该平面向第四个点平移，得到一个三维体。从代数方面考虑，四维空间中有四个点，其中三个确定了一个平面，而四维空间中平面是两个个四元一次方程组成的方程组，要求的是是否存在一个四元一次方程，使四个点的坐标、平面上点的坐标都适合该方程。因为四元一次方程包含五个未知数，那么可以从平面上取一不同于已知三点的点，将这五个点的坐标带入，看次方程组是否有解······这部分问题可以借助线性代数的知识，不过，我对此不是很了解。不过，换一个角度想，n维空间中的n-1维体方程有n+1个未知数，给定n个点，就得到n个方程，似乎有无数个解，不过，事实上，这些解所表示的n-1维体是相同的，只是在方程左右两端乘了一个数（如a(Ax+By+C)=0）。下面来讨论一下两个同维度几何体间的位置关系，如果类比线在三维空间中的状况，可以发现，在n维空间中，两个m维体可以分成共n-1维空间或不共n-1维空间，前者可以再分为是否共n-2维空间···一直到是否共m+1维空间，最后按在m+1维空间中是否有交点再分两类，这样看来，n维空间中两m维体间的位置关系有n-m+1种比如三维空间中两一维体间有3种位置关系。不过，如果我们看一看四维空间中的一维体，发现有4种位置关系，分别是异三维空间、共三维空间异面、共面平行、相交。这自然而然地引发了一个疑问：两条直线上我们可以取四个不共面的点，这四个点可以确定一个三维空间，那么这两条直线不就一定共三维空间了吗？再进行一些类比：两个零维体一定共一维体（其实这句话可以和前文类比，n+1个满足一定条件的零维体共n维体），这个问题就显得没那么简单了，我们讨论四维空间中两异面直线是否一定共三维空间的问题，两条线上各取两点A、B及C、D，其中三点A、B、C确定一个平面，另一个点D一定在平面外，这个平面和这个点可以确定一个三维空间，可以确定的是，直线AB一定在其中因为A、B在此空间内，这样看的话，CD不也在此空间内了吗？那么高维空间中两直线间的位置关系和三维空间中相同？从另外一个角度看，在t=a和t=b两个三维空间中取两直线，看是否有同时包含它们的三维空间，也就是看在t=a中过此直线的所有面向t=b中平移时是否有可以将另外一条直线包含的，而平移后的平面在t=b中的所有情况其实就可以将两直线放到同一三维空间中考虑，那么这种平面一定存在。也就是说两异面直线确定一个三维空间，那是不是可以类推：两个异四维体三维空间可以确定一五维空间？两个异n维空间n-1维体确定一n+1维空间？（其实我们已经发现，上文中的某些论述是有问题的）而如果类比“n+1个满足一定条件的零维体确定一n维体”就自然地提出上文中的问题：q个不共p维体的m维体能确定什么？需满足的条件是什么？

   在此之前，我对空间的曲率也做了一些粗略的思考（因为这部分人们已有过深入研究，我将我的想法和“官方”方法做了比较，发现还是有出入的，不过，我只是陈述一下我的想法）。二维空间中，对于一维的线，我们可以用取两点，求两点切线的倾斜角的变化量和两点间弧长，求它们的比值，当两点无限接近某一定点时，用该比值的值来代表曲线在该定点的曲率。那么三维空间中怎么衡量二维的面的某点的弯曲程度？我想，可以过改点作此曲线的法线，作出过法线的所有平面求该曲面被它们截出的曲线的曲率，取平均值（不过，我上网查了一下，发现一般形容曲面的弯曲程度时，取的是最大与最小值的平均值）。那么对于三维空间中一点，可以用类似方法，也许作它的法向量，取过过法向量的所有平面的所有直三维空间，得到它们与该空间的交面，用上述方法求这些面的曲率，求平均值。

   事实上，我画了很长时间思考了作图自由度的问题，也正是在此过程之中，我发现了很多延伸出的问题。先做个说明，作图自由度是我自己定义出来的一个描述作图的自由程度的量（其实对自由度，人们已经有了定义，说的是变量的个数，不过同样的，我只是陈述我的想法）。举个例子，在二维空间中，给一定点，让你作过该点的直线。由于直线可以由方向向量确定，而方向向量可以旋转2π的角度，不过转过π后，就重复了，所以只取π，那么，按照我的想法，此时的，二维空间中给定零维体，除要过改点外没有限制的作一一维体的自由度为logππ=1之所以取π为底数，是想使结果为整数，真数是可以取的角度。那么可以求出，在三维空间中，给定一点，作一直线的自由度为logπ（2π*π*1/2）=2，不过，值得注意的是，三维空间中给定一点，作出一平面的自由度也是2！（因为，已经过定点，则平面同样可以由法向量确定，法向量不共线，则平面是相同的，而作出法向量的自由度是2）不过，如果要求在三维空间中作一点的自由度，需要引入一个“常数”R（也许它不能被称作一个数，不过，暂且如此），自由度为logπR^3=3logπR。这样，我们就可以定义一个符号F（nmp），表示在n维空间中给定一p维体作除过该p维体外无限制的一个m维体的自由度（n>m>p）。不过，由于对高维几何的认识不够和代数的知识的缺乏，我还没有想到一个求它的表达式的方法（当然它没有通项公式也是有可能的）。

   这文章好像有些太多了，不过我想把想法表达清楚，也许有更好的表达方式。另外，对四维空间还需要很多思考，这里留下的问题如果大家有兴趣可以帮助解答。

木头人噜噜噜

对于四维空间，我在时间简史上见过，我记得还有一个时光锥，不过到最后也没弄明白

liule_blue

不明觉厉！膜拜Lz

lhl

hao.............

祭司zhangcy

锻炼中的哑铃

祭司zhangcy 发表于 2013-10-20 17:20

以前看过，这视频主要还是给大家一个四维空间的概念

天方魔

发现脑子不够用了。。。

花无缺0228

耐心看完了，还是不知道如何在脑中建立四维空间的概念。只从汉语词典上面了解到四维空间是三维空间再加一个时间坐标，依旧想不出。。。

折翼蚂蝗

学过高等代数、近世代数，但还是对高维空间不太理解！真的很佩服LZ！那些高维魔方的帖子也很好！

mokona

动画效果太棒啦！