魔方表示定理

rongduo

约三月前，我在论坛披露有一部名为《魔方的解法与原理》的手稿，但未录入电脑。此后一直有网友催问何时能发表，有的甚至多次发短信来催促。但惭愧得很，至今我仍未完成录入任务。我只能在周末和周日来做这件事，而且录入的过程同时也是一个完善提高甚至再创作的过程，故而进展异常缓慢。但我仍然敢说，我不会使朋友们失望的。

现在已将这部书稿重命名为《魔方组合原理》，这一名称更符合书的内容——它其实主要是一本讲魔方组合而非开解的书。由于多次在论坛上看到人们讨论魔方的组合数而又不得要领（请恕冒犯），我终于决定先将书中与此有关的一点内容发表于论坛，算是向对我工作效率不满的网友告罪。

rongduo

书中有这样一个定理：

魔方表示定理：把一个正常的魔方拆散后随意组装，不管在组装过程中发生了多少组装错误，组装完成后总可以使这些错误化归为不超过三个方块的错误。

【说明】定理中所说的化归后的错误只能是如下11类错误中的一类：

当其它所有方块都正确时，

（i） 一个下角块顺时针扭转;

（ii） 一个下角块逆时针扭转；

（iii） 一个下边块翻转；

（iv） 两个下边块对换；

（v） 一个下边块翻转且它同时与另一个下边块对换；

（vi） （i）和（iii）的组合；

（vii） （ii）和（iii）的组合；

(viii) （i）和（iv）的组合;

(ix) (ii)和(iv)组合;

(x) (i)和(v)的组合;

(xi) (ii)和(v)的组合。

以上11类错误再加上正确的一类，正好对应于所谓的魔方组装的12个族。

这一定理（以下简称为“表示定理”）的证明冗长且所涉面广，但定理本身的内容却很直观——熟练的玩家很容易验证它的正确性。这里我们只打算引用它来计算魔方的组合数。

[此贴子已经被作者于2004-11-30 16:12:58编辑过]

rongduo

按照中学数学中的排列组合的理论与方法，易知8个角块在魔方上的全部可能的组合可以看成是8个角块的全排列，其数值为8!；同理12个边块的可能的组合数值为12!。8个角块方向的可能的组合数为3⁸，12个边块方向的可能的组合数为2¹²。这样魔方全部可能的图案组合数为：

8!×3⁸ ×12!×2¹²_­

这是所有组装正确和错误的魔方图案的总数。由表示定理知道，这样的图案可分为12族。各族的图案数都相等——这是因为，一个组装错误的魔方与组装正确的魔方有着完全相同的物理构造和转动方式。不妨想象已知的组装错误的魔方只是对一个组装正确的魔方进行重“染色”而成的，“染色”行为显然不会改变这个魔方中方块的组合数。故而，任意一个三阶魔方（无论其组装正确与错误）的图案的总数应为：

8!×3⁸ ×12!×2¹²_­/12

≈ 4.3 × 10¹⁹

[此贴子已经被作者于2004-11-29 9:10:37编辑过]

cube_master

期待中......

loy

一个魔方拼成一种图案后放在桌子上,然后改变魔方与桌子的接触面,这是不是算有六种不同的图案呢?按照上面的理论是应该算的吧,但实际这只是同一种图案.所以应该再除以6啊!~

rongduo

loy网友：您所想的问题，属于魔方在现实空间的方向问题。但我们的讨论不涉及于此。

譬如方块位置的确定是以魔方的有关中心块为参照系，而不是看它在生活中的三维空间中的位置。同样，边块是否发生翻转，也只是以这边块所在的魔方的两个平面的中心块为参照系；角块的扭转，只是以这个角块的所涉的魔方的三个平面的中心块为参照系。既然在论证中未考虑生活中三维空间的六个向度，也就没有必要去除以6了。

rongduo

其实，现实中三维空间的方向有无数个，比如，我们可以先让魔方的一个顶点接触桌面，后让某一条棱接触桌面等等——这样的摆放将是无限的，又岂止6个方向！但这无限个摆放显然与魔方方块的组合数无关。一间房子在白天其方向是确定的，到了午夜我们并不会说它的方向因地球的自转而发生了变化。因为，我们不是站在地球外来看它的方向的。房子的方向仅仅由地球决定，而与太阳无关。

loy

rongduo网友,你说以中心块为参照系我就想通了,之前我没有考虑中心块的颜色问题,也就是把所以中心块都看成一样的了,所以结果就是正解的六分之一了.

[em04]

pengw

以下是引用rongduo在2004-11-29 8:31:19的发言：

书中有这样一个定理：

魔方表示定理：把一个正常的魔方拆散后随意组装，不管在组装过程中发生了多少组装错误，组装完成后总可以使这些错误化归为不超过三个方块的错误。

【说明】定理中所说的化归后的错误只能是如下11类错误中的一类：

当其它所有方块都正确时，

（i） 一个下角块顺时针扭转;

（ii） 一个下角块逆时针扭转；

（iii） 一个下边块翻转；

（iv） 两个下边块对换；

（v） 一个下边块翻转且它同时与另一个下边块对换；

（vi） （i）和（iii）的组合；

（vii） （ii）和（iii）的组合；

(viii) （i）和（iv）的组合;

(ix) (ii)和(iv)组合;

(x) (i)和(v)的组合;

(xi) (ii)和(v)的组合。

以上11类错误再加上正确的一类，正好对应于所谓的魔方组装的12个族。

这一定理（以下简称为“表示定理”）的证明冗长且所涉面广，但定理本身的内容却很直观——熟练的玩家很容易验证它的正确性。这里我们只打算引用它来计算魔方的组合数。

此说法未包含中心块的未复位的情况,如一个貌似复原的魔方,可能有一个中心错转90度,还有中心块错误与其它几项错误的组合,因此错误涉及块最大数限制在一个角块方向错误,二个棱块互换及方向错误,一个中心块方向错误,特此更正

[此贴子已经被作者于2005-1-8 0:08:40编辑过]

pengw

以下是引用rongduo在2004-11-29 8:31:19的发言：

书中有这样一个定理：

魔方表示定理：把一个正常的魔方拆散后随意组装，不管在组装过程中发生了多少组装错误，组装完成后总可以使这些错误化归为不超过三个方块的错误。

【说明】定理中所说的化归后的错误只能是如下11类错误中的一类：

当其它所有方块都正确时，

（i） 一个下角块顺时针扭转;

（ii） 一个下角块逆时针扭转；

（iii） 一个下边块翻转；

（iv） 两个下边块对换；

（v） 一个下边块翻转且它同时与另一个下边块对换；

（vi） （i）和（iii）的组合；

（vii） （ii）和（iii）的组合；

(viii) （i）和（iv）的组合;

(ix) (ii)和(iv)组合;

(x) (i)和(v)的组合;

(xi) (ii)和(v)的组合。

以上11类错误再加上正确的一类，正好对应于所谓的魔方组装的12个族。

这一定理（以下简称为“表示定理”）的证明冗长且所涉面广，但定理本身的内容却很直观——熟练的玩家很容易验证它的正确性。这里我们只打算引用它来计算魔方的组合数。

以上内容未考虑中心块问题,不全对.同时错装问题,可用已发表的P3定理轻易发现