对换位子公式的一点理解

123wyx

昨天看见魔友讨论“什么形式的公式才能算换位子(commutator)公式”的问题。

这个问题我觉得可以这么理解，记录在这里供魔友参考。

A与B的换位子的定义就是[A,B]=ABA'B'，没有其他限制条件。
比如[L,R]=LRL'R'，等于什么都没做，但[L,R]照样是L与R的换位子。
[L,R]这个例子是A与B两个步骤互相没有影响的情况，这种情况下，A与B可以交换顺序，故[A,B]=ABA'B'=AA'BB'=0，得到的就是恒等元，也就是说魔方状态不变。

如果A与B相互影响，有一定交叉，那么A与B一般就不能交换了，[A,B]一般就不为0了。
这时虽然[A,B]=ABA'B'不等于AA'BB'=0，但若A与B相互影响较小，那么[A,B]还是很接近0的，这样在盲拧中会有用处。
比如说咱们熟悉的所谓“标准”换位子三轮换公式，A与B同时涉及一个块，[A,B]就与0稍有区别，得到的结果是一个三轮换。

直观上讲，如果A与B同时涉及更多块，比如[U,M]，那么[A,B]与0的差距就会更大。比如[U,M]就是个五轮换。

当A与B的相互影响大到一定程度时，公式[A,B]与0差异就会非常大，这时这个换位子公式可能就没有什么好的性质了，在盲拧中自然就没什么用处了。

所以说，A与B的换位子的定义[A,B]=ABA'B'本没有其他限制条件，但A与B两个步骤相互影响的方式与程度决定了换位子的模式与效果。

龙门飞甲

不懂， 但是顶一个

tm__xk

commutator(交换子)是数学概念..ABA'B'的形式就算..
单纯说commutator的话..确实和具体的A和B是什么鬼以及二者之间有啥关系没啥关系..

但这里说的是魔方相关的"commutator公式"..于是首先是想说"魔方公式"..
广义上讲任何操作都算是"公式",狭义上讲特指其中一部分"有一定使用价值于是值得让人记录下来的"..
那么要讨论的"形式上符合但没什么值得记下的价值的"..也就是满足前者而不满足后者....
广义上的意义是普适性的,狭义上的意义是有实用性的..于是..私以为在没有更多声明的前提下哪个都不能直接说就是错的吧..


换句话说,其实这问题跟commutator并没有什么关系..
与其说"什么形式的公式才能算换位子(commutator)公式"..倒不如直接说"什么样的操作序列才能叫'公式'"..
私以为:这取决于"公式"的定义,而"公式"一词的定义和使用是为了方便..
所以..要么事先说清楚定义,要么在不引起混淆的前提下默认..
至于真的混淆了的话..这个问题其实就是"不明说用哪种定义的前提下碰到歧义时到底该用哪种定义"..毫无意义..
建议非要问这种问题的人回避使用这种不说明定义就直接使用导致产生歧义之后还非要问人用哪种定义的词汇..

123wyx

tm__xk 发表于 2017-1-25 01:19
commutator(交换子)是数学概念..ABA'B'的形式就算..
单纯说commutator的话..确实和具体的A和B是什么鬼以及 ...

好，谢谢。
其实引发这个讨论的问题是：“[U2,M]算不算commutator公式？”
讨论的内容是："换位子公式"除满足[A,B]=ABA'B'外还需不需要满足其他条件？如：是否需要三轮换的ABC三块满足“A到B只需要一步转动，C到B不能改变A到B的转动层里B以外的其他块”？
我发的那段话是针对这个问题的一点理解。
所以实际上还是对commutator这个词的讨论。

222222

似乎看懂了.......

tm__xk

123wyx 发表于 2017-1-25 10:14
好，谢谢。
其实引发这个讨论的问题是：“算不算commutator公式？”
讨论的内容是："换位子公式"除满 ...

单纯说commutator这个词的话只是数学概念,和魔方和魔方公式都没有关系,定义就只是这个ABA'B'的形式.
而这里的[A,B]=ABA'B'则是为ABA'B'这个形式定义了一个[.,.]的写法,所以应该说一切[.,.]都算是commutator.

所以实际上还是对commutator这个词的讨论

这个说法是不对的.
很简单,你能把你的问题改变说法使之与魔方没有关系吗?可以的话自然只涉及数学概念,不可以的话自然就是在魔方这个语境上的使用的问题.所以我们看这句话:

"commutator公式"除满足[A,B]=ABA'B'外还需不需要满足其他条件？

其中的A,B以及'的记号都可以和魔方无关,整句话只有"公式"一词存疑.所以说到底,还是"'公式'这个词的定义"的问题.

123wyx

tm__xk 发表于 2017-1-26 00:52
单纯说commutator这个词的话只是数学概念,和魔方和魔方公式都没有关系,定义就只是这个ABA'B'的形式.
而这里 ...

我可能表述得不太准确。
我们在讨论中对“（盲拧）公式”这个词的理解都是“（在盲拧中）有实用价值的操作序列”，这点是一致的，
但是在“commutator公式”的定义上有些分歧，有的魔友认为给定的“公式”只需要满足[A,B]=ABA'B'形式就可以称为“commutator公式”，还有的魔友认为除操作序列的形式是[A,B]=ABA'B'以外，还需要公式的效果是三轮换，且三轮换的ABC三块满足“A到B只需要一步转动，C到B不能改变A到B的转动层里B以外的其他块”，才能称为“commutator公式”。这是讨论的核心问题。

按照我的理解，如果一个操作序列既是“commutator”（[A,B]），又是“公式”（有实用价值），它就可以被称为“commutator公式”。

tm__xk

123wyx 发表于 2017-1-26 13:29
我可能表述得不太准确。
我们在讨论中对“（盲拧）公式”这个词的理解都是“（在盲拧中）有实用价值 ...

我明白你的意思了.

有的魔友认为给定的“公式”只需要满足[A,B]=ABA'B'形式就可以称为“commutator公式”
还有的魔友认为除操作序列的形式是[A,B]=ABA'B'以外，还需要(...)，才能称为“commutator公式”。

简单地说,就是问"一个'公式'是'commutator公式',是否需要它满足(...)的条件.".
这里这些(...)的额外条件,不属于我前边说的"commutator的定义",并且属于我前边说的为了"实用性"而加的限制.
前边我说了,"公式"一词是否要求类似这样的"实用性"是取决于"公式"一词的定义,没有明确说明的话不能说哪一种就是错的.同样,对于"commutator"一词以及"commutator公式"一词自然也可以同样处理.所以,这个问题同样也不需要有一个非此即彼的答案.

其实,这里涉及了"commutator公式","commutator","公式"这几个概念,要加额外限制的话,无非是选择将这些限制添加在哪个概念的定义中罢了.就算各人用各人的定义,也毫无不可.
如果是我的话,我会认为commutator应该是纯数学概念,单纯定义为ABA'B'的形式,不加那些与转魔方时的实用性之类的限制;"公式"一词,在这里特指魔方公式的话,可以适当加限制;如果我真的需要"commutator公式"这种说法,并且需要与"公式"的限制不同的限制,那我会把多出来的限制放在"commutator公式"这个整体概念上,换句话说,我会让"commutator公式"这个词的意思不等价于"既是commutator又是公式的东西".

举个栗子,假如我在盲拧使用三轮换和五轮换,那我定义的"公式"包括三轮换和五轮换.假如我希望我所说的"commutator公式"仅含三轮换,那我会定义"commutator公式"为"满足commutator形式"且"是三轮换"且"是公式"的操作.此时,可能对某个五轮换,我认同其为"既是commutator又是公式",但我不称其为"commutator公式".

ps.我一定是太无聊了才来说这些的吧..其实我认为讨论这样的问题根本没有任何意义,毕竟在"一个概念在不同定义体系中的意义可能不同"这种理所当然的结论之下,在不提定义体系的前提下碰到一个概念有歧义下问哪种意义才"对",本来就毫无意义嘛..(这里的"对"加了引号,因为这个"对"的定义就依赖定义体系,正因如此这个问题毫无意义..)
反正,"存在歧义"不意味着"存在矛盾",所以根本没有什么好争辩的..大家都承认"我的结论在我的体系中正确;你的结论在你的体系中正确;我的体系和你的体系不同;我的结论和你的结论不同;前边几个结论相互之间没有矛盾"不就行了嘛..非要相互交流时要么一方妥协要么避开产生歧义的字眼就行了嘛..发现歧义之后能理解这些的话就不用再争了嘛..双方都不能理解的话....能理解的外人干吗要介入呢........



(这类问题就跟"自然数包不包括0"类似程度地没有意义..)

123wyx

tm__xk 发表于 2017-1-27 00:26
我明白你的意思了.简单地说,就是问"一个'公式'是'commutator公式',是否需要它满足(...)的条件.".
这里这 ...

嗯，对，各人有各人的定义。只要大家把自己的定义互相说清楚，对原理的理解正确就可以了。
所以说1楼发的就当写给不太了解这些内容的魔友加深理解用了。

乌木

1楼说，“比如[L,R]=LRL'R'，等于什么都没做”。是的。有趣的是，[R,L']=RL'R'L 或 [R',L]=R'LRL' 分别插入一点步骤后，就有棱块三轮换的效果了：
R E L' E' R' E L E'  ，或 R' E' L E R E' L' E