小议《广义魔方存在3置换的一个充分条件》

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&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 鉴于 某位“理论大师”（自诩）总是 “<FONT color=red><STRONG>攻击、改帖、屏蔽、删帖</STRONG></FONT>”，本人不便<BR>&nbsp; <BR>在“理论篇”发帖子讨论问题，另发一贴探讨《<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745"><FONT color=blue><STRONG>广义魔方存在3置换的一个充分条件</STRONG></FONT></A>》，<BR>&nbsp; <BR>敬请 earthengine 及 大家 理解！ <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745</A><BR>&nbsp; &nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;

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<P>&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; earthengine 在<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745"><FONT color=blue><STRONG>《广义魔方存在3置换的一个充分条件》</STRONG></FONT></A>中的原贴内容：<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR></P>
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<P> <BR>&nbsp; <BR>因为pengw追问这个证明，我想我能给出一个充分条件，而这个充分条件在高阶魔方上应该是普遍成立的。 </P>
<P>首先明确定义。</P>
<P><BR>广义魔方：它包括一些节点，一些位置，以及允许的基本动作。它有一种以上的状态，在每个状态下，每个节点占据一个位置，但不会有两个节点占据同一位置，也不会有一些位置空着。每个基本动作将开始状态下一些位置上的节点移动到别的位置，从而形成新的状态。</P>
<P>一个公式是基本动作的序列，又可称为派生动作。如果两个公式总是把同样的开始状态变为同样的结束状态，则这两个公式叫做全等公式。一个公式能影响0个或多个位置上的节点，这些位置称为公式的相关位置。</P>
<P>由于节点数目有限，因此状态数目有限。从而任何公式重复若干遍之后必然回到之前出现过的状态，最小的这个遍数叫做周期。由于周期的存在，对于每个公式f，必然存在另一个公式f'能把f造成的影响复原。这个f'叫做f的逆。</P>
<P>如果存在一个公式f1，能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，其中f1'是f1的逆。这时我们称f2和f3是相似公式。</P>
<P>如果两个公式有部分相关位置重叠，那么两个公式相交，否则平行。重叠的位置叫做交点。</P>
<P>如果存在一个公式能把一个位置上的节点移动到另一个，则这两个位置是同类的。所有同类位置叫做族。</P>
<P>在这些准备工作之后，我们来看看什么情况下能存在使三个节点的位置轮换的公式。</P>
<P><BR>引理：如果存在公式f1，f2（简化了条件表述），其中f2跟f1产生的实际效果完全一样，除了其中一个相关位置被偷换到其它地方之外，那么存在一个三轮换公式。 <BR>证明：</P>
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<P>举一个直观的例子：如果用(123456)表示一个7轮换公式f1的变换结果(意思是位置1上的节点移到位置2，等等），f2的变换结果是(123457)，是把f1中6这个位置偷换到7所得到的。</P>
<P>现在我们来看公式(f1)(f2')的变换结果是什么。123456789经过f1变为612345789，再经过f2'(175432)变为123475689，正好是一个(567)，完成了一个三轮换，而所有其它元素不变。(不熟悉这种表示的人可能不理解，其实是(123456)将1变成2，(175432)则把2变成1，因此(f1)(f2')下1可以变回原位。而f1把5变成6，它不被f2影响，因此这就是最终结果。其余可以类推。为什么f2的逆不是(754321)呢？其实这样写也可以，但我习惯把最小的数放在最前面，反正循环的方向是固定从左到右，两种写法是等价的)</P>
<P>如果f1是四轮换，那么f2因为和它相似从而也是。这时pengw从四轮换生成三轮换的方法就是以上的另一个特例。为什么(f1)(f2')刚好是一个三轮换呢？其实很简单：对于f1中的元素，要是f1不把它变到1（会被f2'把它变成7）或者6（f2'不能把她复原），那么它会被f2复原。从而123456这些点中只有2个会变化，加上f2中多出来的7这点，一共3个点要变化。由于两个相似变换的奇偶性相同，因此它们的组合必然是偶的，3个点之间能发生的偶变化必然是三轮换。这一论证是普遍的，因而定理被证明。</P>
<P><BR>定理：对于一个位置族如果存在公式f1，f2和f3满足（之前要求f1周期为2的要求取消了）： <BR>f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f2平行<BR>f1和f2的交点在经过f2移动之后，和f2与f3的交点只有一个位置重叠。<BR>那么在这个位置族上存在一个三置换。 <BR>证明：</P>
<P>在这些条件下，(f2)(f3)(f2')将把f2的相关节点中的一个换成f3的某个相关节点。从而(f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3)(f2')和f1将能符合上面引理的条件。</P>
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<P>推论：</P>
<P>高阶魔方的任意族存在独立三轮换。</P>
<P>证明：高阶魔方的任意两个平行层的层转平行。任意一个面转动180度的周期为2。任意一个族有一个层转，它把某个面上这个族所在的行转动到侧面，而另一个平行的层转与它只有一个交点。从而，若选取一个面转为f1，相应的层转为f2，与它平行的层转为f3，则符合了上面定理要求的条件，证毕。</P>
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<P><BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 好主题，earthengine 给出了一般魔方（广义魔方）存在 三置换 的一个判定<BR>&nbsp; <BR>条件，具有划时代的意义！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/victory.gif" border=0 smilieid="14">&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; </P>
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原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216430&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P>&nbsp;&nbsp;定理：对于一个位置族如果存在公式f1，f2和f3满足（之前要求f1周期为2的要求取消了）： <BR>f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f2平行<BR>f1和f2的交点在经过f2移动之后，和f2与f3的交点只有一个位置重叠。<BR>那么在这个位置族上存在一个三置换。 <BR>证明：</P>
<P>在这些条件下，(f2)(f3)(f2')将把f2的相关节点中的一个换成f3的某个相关节点。从而(f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3)(f2')和f1将能符合上面引理的条件。&nbsp;</P>
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&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; “ f1 和 <FONT color=red><STRONG>f2</STRONG></FONT> 平行”应该是“ f1 和 <FONT color=blue><STRONG>f3 </STRONG></FONT>平行”吧？<BR>&nbsp; &nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; (f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(<FONT color=red><STRONG>f3</STRONG></FONT>)(f2') 应该是 (f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(<FONT color=blue><STRONG>f3'</STRONG></FONT>)(f2') 吧？<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 建议能把“ f1 和 f3 平行”的条件放宽为“ f1 和 f3 不相交”，这样更具一般性。<BR>&nbsp; <BR>因为对于各类魔方来说，只要“ f1 和 f3 不相交”，定理也成立！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>
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原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216430&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>如果存在一个公式f1，能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，其中f1'是f1的逆。这时我们称f2和f3是相似公式。</P>
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原帖由 <EM>earthengine</EM> 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217382&amp;ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P>引理：如果存在公式f1，f2（简化了条件表述），其中f2跟f1产生的实际效果完全一样，除了其中一个相关位置被偷换到其它地方之外，那么存在一个三轮换公式。</P>
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</P>&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 呵呵，有些乱了，f1、f2、f3 在“三置换公式”与“相似公式”等概念中“搅扰”呀！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;
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[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-19 11:22 编辑 ]

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原帖由 <I>pengw</I> 于 2008-8-18 19:37 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216896&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P>回22楼，你不从“公理性”四轮换去推导三置换，你的证明没有说服力，也没有抓住问题的本质。五轮也好、三轮换也好都是四轮换工作的结果，这是一个不能否认的事实，四轮换才是魔方结构定义的最基本变换，没有人会认为四轮换是须要证明的，你首先应该证明三置换是如何来自四轮换，之后才能去证明三置换的一般性，这才是正确的思路，一定要尊重魔方上的基本变换特征。</P>
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原帖由 <I>pengw</I> 于 2008-8-18 19:22 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216871&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> <BR>再重复一次，我的问题是，魔方上只有四轮换，随便一转都是如此，怎么就变出了三置换？你可以推导给大家看看吗？你不用四轮换去推导三置换，你的结论会让人信服吗？ <BR>

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原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 19:32 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216885&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>我的证明不依赖于任何四轮换或者类似的东西。你可以在一个具有五轮换特性的魔方上实践出三轮换。基本要求是存在两个相似公式，它们的相关位置除了一个之外完全相同，然后另有一个公式能把多出来那个位置移到第三个地方，但不会动其它的相关位置。如果能这样，那么三轮换存在。</P>
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<P><BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 支持， earthengine 回答的很好！&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

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原帖由 <I>pengw</I> 于 2008-8-18 21:31 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217030&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P><FONT color=red size=6><STRONG>一切置换都源于四轮换</STRONG></FONT>，<FONT color=red size=6><STRONG>只有从纯四轮换推导出三置换才能令人信服</STRONG></FONT>，希望你理解我的说法并抓住问题的实质，不要迫于别人的追问而急于想去证明而失去冷静的分析而跌入圈套（看来会下套的人还不止一人嘛，哈哈哈），你一楼的证明显然不能令人信服，我想没有几个人能看明白你在说什么，你最好用图来表达你的意图，也不要轻易定义什么定理,要明白，三元置换，五元置换及所有可能的置换都是四元置换的派生置换，派生置换是不能自已证明自已的。</P>
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<P> <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 呵呵，荒唐。 比如 正十二面体三阶魔方（俗称 五魔方 ）中的<FONT color=blue><STRONG>基本置换<BR>&nbsp; <BR><FONT color=red>不是“四轮换”</FONT></STRONG></FONT>，<FONT color=blue><STRONG>都是“五轮换”。</STRONG></FONT> 也就是说，魔方不都是 正六面体魔方 ！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

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原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-18 20:43 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216965&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A></P>
<P>1楼说：“对于每个公式f，必然存在另一个公式f' 能把f 造成的影响复原。这个f' 叫做f 的逆。”那么，如果f＝UR的话，f' 是R'U' 呢，还是（U R）104 呢？按照你的说法，都是；但是通常总是说f' 是R'U' ，很少人愿意说（U R）104是UR的逆。（还有数不清的符合你说法的 f' 。）</P>
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原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 21:16 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217007&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>按照我的定义，(UR)104和R'U'是全等公式。因此，它们可以互相代替。我前面的提法逆只是让逆公式的存在性变得明显而已。<BR>&nbsp;

&nbsp; <BR>&nbsp; &nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 不错，一个“状态”可以有很多个“公式”，那么该“状态”的“逆公式”<BR>&nbsp; <BR>也应该有很多！&nbsp; 只是请大家注意：一个“状态”的“逆状态”只有一个！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

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原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-18 20:43 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216965&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>1楼说：“对于每个公式f，必然存在另一个公式f' 能把f 造成的影响复原。这个f' 叫做f 的逆。”那么，如果f＝UR的话，f' 是R'U' 呢，还是（U R）104 呢？按照你的说法，都是；但是通常总是说f' 是R'U' ，很少人愿意说（U R）104是UR的逆。（还有数不清的符合你说法的 f' 。） </P>
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原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-18 22:21 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217121&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;&nbsp;</P>
<P>但大家对“逆公式”的含义已经约定俗成了呀。是否此处你得换个说法？一个打乱态的获得步骤很多很多，该乱态的复原步骤也很多很多，这两大帮步骤串之间，任一个步骤串的逆步骤串只有一个，别的等价物不等于逆步骤串，逆过程还得讲究一步步具体的“脚印”的重现，不仅仅初态终态之重现。</P>
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<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <FONT color=blue><STRONG>一个“状态”可以有很多个“公式”，那么该“状态”的“逆公式”<BR>&nbsp; <BR>也应该有很多</STRONG></FONT>！&nbsp; 只是请大家注意：一个“状态”的“逆状态”只有一个！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <FONT color=red><STRONG>乌木 先生理解数学概念不对呀</STRONG></FONT>！&nbsp; <FONT color=blue><STRONG>earthengine 的说法是正确的</STRONG></FONT>！ <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

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原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-19 11:21 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217409&amp;ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>3楼中g老师在引用中直接把“f1和f2平行”改为“f1和f3平行”，就不是“引用”了。这样直接改引用物，会让人看不懂下文的。<BR>&nbsp;

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<P>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp; 感谢 乌木 先生提醒。帖子太多，编辑时改动过。<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; </P>

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原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-19 17:18 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217766&amp;ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>这里准确的用词应该是“变换”，变换是从一个状态变化为另一个状态的过程，可以通过公式，也可以不。因此变换总是存在逆，且这个逆是唯一的（在总能从同样的开始状态变换到同样的结束状态这个意义上）。状态和变换容易搞混的原因是每个状态都对应一个从初始状态变到它的变换。<BR>&nbsp;

&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; earthengine 的概念比较清晰，支持一下！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

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&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 对于 乌木 先生的概念混乱，我做一个解释，希望各位魔友不要犯<BR>&nbsp; <BR>类似 乌木 先生的概念错误。<BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 我们对魔方的 复原状态 进行 变换 A 的操作后得到的状态称为 <BR>&nbsp; <BR>状态 A ； 同样 对魔方的 复原状态 进行 变换 B 的操作后得到的状态<BR>&nbsp; <BR>称为 状态 B ， 等等 。 <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 相关内容请参考：&nbsp; <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8598"><STRONG><FONT color=blue>由魔方的 相似变换 分析 整体翻转 的性质</FONT></STRONG></A><BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8598">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8598</A><BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-20 21:25 编辑 ]