求xyz乘积取值

谢鑫硕、

若正整数 a、b、c、x、y、z 满足 ax=b+c,by=a+c,cz=a+b,则乘积 xyz 可能的取值个数为？？？？2，3，4或无数、、求解析


这是初中奥赛的题、、

liudong

抢占沙发。

极光悠草

用因式分解来做吧

西北天狼

a|(b+c),b|(c+a),c|(a+b)则(a,b,c)=(k,k,k)或(k,k,2k)或(k,2k,3k)
xyz=8或9,或10

ANTY

西北天狼 发表于 2012-7-23 10:22
a|(b+c),b|(c+a),c|(a+b)则(a,b,c)=(k,k,k)或(k,k,2k)或(k,2k,3k)
xyz=8或9,或10

没看懂，这是运用了什么法则，初中有学过？

ANTY

wpolly

这么做：x=(b+c)/a 则1/(x+1)=a/(a+b+c)

所以就有1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)=1
易证这个式子的正整数解只有1/3+1/3+1/3=1/2+1/4+1/4=1/2+1/3+1/6=1,对应的xyz分别为8 9 10

西北天狼

ANTY 发表于 2012-7-23 11:54
没看懂，这是运用了什么法则，初中有学过？

完整的分析
由题意得：a|(b+c),b|(c+a),c|(a+b) “|”表示整除的意思；
根据对称性，不妨设a≤b≤c，且a,b,c是既约的，即它们的最大公约数为1；
若c=b 由 b|(a+b) 知 b|a 必有b=a 即a=b=c=1;
若c>b 且 b=a 由 c|2b 知 c=2 b=a=1;
若c>b>a 则 a+b<2c 由c|(a+b) 知 c=a+b,进一步有 b|(2a+b) b=2 a=1 c=3;
综上所述，(a,b,c)的通解为(k,k,k)或(k,k,2k)或(k,2k,3k)，k为正整数；
对应的xyz=8或9或10。

ANTY

西北天狼 发表于 2012-7-23 22:46
完整的分析
由题意得：a|(b+c),b|(c+a),c|(a+b) “|”表示整除的意思；
根据对称性，不妨设a≤b≤c，且 ...

学习了，以前的东西都忘完了