初中几何题

第8个小笼包

1.已知：定点P和定三角形△ABC在同一平面内。求作：直线L，使其经过定点P并且平分△ABC的面积。
2.已知：定点P和定四边形ABCD在同一平面内。求作：直线L，使其经过定点P并且平分四边形ABCD的面积。
3.已知：定点P和定三角形△ABC在同一平面内。求作：直线L，使其经过定点P并且三分之一等分△ABC的面积。

[ 本帖最后由 第8个小笼包 于 2009-1-20 20:52 编辑 ]

Xwam

这个题的确值得思考。

ggglgq

　　　　　　　
　　　　
　　好主题，加精支持！　　
　　　　
　　　　　　　
　　　　

第8个小笼包

如何使得S,M,P共线呢，这如题目要求的那样，作一直线平分三角形面积那样神秘而无法触摸。

咖啡味的茶

证明不懂再问我，再说这个不是传统的尺规做图。

咖啡味的茶

我还有个做图方法，但不全是尺规做图。
如果P在定三角形ABC的任何一条中线所在的直线上，那么直接连接P和重心O 。
如果P不在任何一条中线的直线上，那现在三条中线所在的直线把整个平面分成六分。D,E在BC,AC上，且AOD,BOE共线。P在射线OB,OD所夹的锐角空间内。
如果P在三角形的边上，做Q在AC上，使EP//BQ。PQ就是所求作法。
如果不在边上，则在AC上做R点，使角BEA=角BER。分别做M,N在线段BR,ER上，使BE//MN.做MN的中垂线和BE交于S。使S,M,P共线，此线就是要做的线。

skyloyal

我都初三了还没见过这样题目汗~~
是不是我的初中不入流..555

曾经沧桑

初中的题？我怎么没见过？

第8个小笼包

将定点P分别在定三角形△ABC内、外各给出十分巧妙的尺规作图方法：
〈Ⅰ〉定点P在定三角形△ABC内（如图4所示）。
作法：取AC的中点D，作△ABE∽△APD，点E在∠BAC内，过P作AC的平行线交AE于点F，再以P、E、F三点作圆，该圆与AB相交于点G，则由P、G两点所确定的直线即为所要求作的直线L。
证明：由△ABE∽△APD可得：AD×AB = AP×AE ……（1），设直线L与AC的交点为H，很容易证明△AGE∽△APH，由此可得AG×AH = AP×AE，结合（1）可知道AD×AB = AG×AH，从而有sin∠BAC×AD×AB/2 = sin∠BAC×AG×AH/2，由于点D是AC的中点，所以有：sin∠BAC×AD×AB/2 = S△ABC/2，即sin∠BAC×AG×AH/2 = S△ABC/2，故直线L即为所求。
〈Ⅱ〉定点P在定三角形△ABC外（如图5所示）。
作法：取AC的中点D，作△ABE∽△APD，点E在∠BAC外，过P作AC的平行线交EA的延长线于点F，再以P、E、F三点作圆，该圆与AB相交于点G，则由P、G两点所确定的直线即为所要求作的直线L。
证明：略。

但是如果P是内心怎么办呢？

lulijie

很对。
    图形平衡后只能说明两边图形对垂线的力矩相等（杠杆原理），而力矩等于重量乘以距离（两边图形的重心对垂线的距离），两边图形的重量是等比于面积的，但一般它们的距离不等，所以图形平衡后两边的重量不等，也就是面积不等。