概率问题：球面四点

Cielo

不好意思,我这里教育网上mf8上不了所以来晚了……今天好不容易找了个代理才上

回答乌木先生5楼的问题：半球是任意取的，就是说给了四点后只要存在一个半球面覆盖这四点即可。

再就是关于某几点在同一个大圆周上或两点在直径两端的这些情况，概率是0，可以不考虑的。

14楼转载的这个解法是对的，概率是1-1/8=7/8。

看来网上真是什么题目都有啊呵呵！

[此贴子已经被作者于2007-6-4 16:26:21编辑过]

乌木

1楼题目：“球面上任给四个点，问它们处于同一个半球面上的概率。”

14楼题目：“求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。”

好像不同吧？

4个点均布于一个球面，应是正四面体的四个顶点吧？然后这个内接正四面体在球内保持正四面体形状的同时，整体随机运动，随机叫停时，某个指定的半球获得这四个点的概率是多少？好像不可能吧？除非四个点中途变形，那么，又有什么“均匀”呢？或者，题目中的“均匀”作何解？

cube_artist

终于召唤到楼主了,不过依然不明白。

另外,今天我又想了一下,引申了些不知道有没有价值的东西.

这个问题跟以下两个问题有什么联系呢?

1,在一个圆上,任取三点,三点在一个半圆的概率是?(就是牛兄的题目.)

2,在一条线段上,任取两个点,这两个点之间的距离小于等于线段长的一半的概率是?

Cielo

QUOTE:

以下是引用乌木在2007-6-4 16:44:53的发言：

1楼题目：“球面上任给四个点，问它们处于同一个半球面上的概率。”

14楼题目：“求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。”

好像不同吧？

4个点均布于一个球面，应是正四面体的四个顶点吧？然后这个内接正四面体在球内保持正四面体形状的同时，整体随机运动，随机叫停时，某个指定的半球获得这四个点的概率是多少？好像不可能吧？除非四个点中途变形，那么，又有什么“均匀”呢？或者，题目中的“均匀”作何解？

个人认为“均匀”这两个字可以去掉，因为均匀的意思是每个点位于球面上任何位置的概率是均等的，即均匀分布！

再更正一下我上面那个帖子中的错误，我的问题的推广不是14楼的问题，而是“n维球上随机n+1个点，它们位于同一个半球面上的概率是多少”，n=2时即23楼的那个问题，是可以作类比的！

[此贴子已经被作者于2007-6-4 20:08:59编辑过]

乌木

那么，也就是说，四个点子各自独立，每个点子的落点都是独立事件。选定某个半球，一个点子落在其中的概率为0.5，（落在分隔两个半球的大圆上的话，是否人为规定一下，半周算这半球；另半周算那半球。不知可以吗？）四个独立点子都在指定半球的概率是0.5×0.5×0.5×0.5＝0.0625（对吗？概率问题我弄不大懂）。但是另半球也有0.0625的概率，而且也符合题目要求，故0.0625+0.0625＝0.125。

为何您的答案不是1/8（＝0.125），而是7/8呢？

cube_artist

QUOTE:

以下是引用Cielo在2007-6-4 20:08:12的发言：

个人认为“均匀”这两个字可以去掉，因为均匀的意思是每个点位于球面上任何位置的概率是均等的，即均匀分布！

再更正一下我上面那个帖子中的错误，我的问题的推广不是14楼的问题，而是“n维球上随机n+1个点，它们位于同一个半球面上的概率是多少”，n=2时即23楼的那个问题，是可以作类比的！

可以作类比,那就太好了.[em01]

可是1-1/8这条式子依然不懂.

Cielo兄有空不妨详细解释一下.

乌木

还有，什么叫n维球？n>3时，是高维空间中的、抽象的“球”吧？

n＝3时，即我们的三维空间，n+1＝4，4个点子在三维球面上如何如何。

四维及再高维，就属于数学推广了。对吧？

牛眼看魔方

我看到的解法，就是N维球的，这是个纯理论的问题，所以无法在现实中考量，就象数论一样。乌兄可能要失望了。

Cielo

QUOTE:

以下是引用牛眼看魔方在2007-6-5 9:42:09的发言：
我看到的解法，就是N维球的，这是个纯理论的问题，所以无法在现实中考量，就象数论一样。乌兄可能要失望了。

哦那就是你14楼未注明了，所以你看到的就是一开始1楼的那个题目的推广了。（这是我们老师课上留的思考题，说是让我们先考虑3维球上四个点的情况）

还是让大家多讨论一下吧，直接给个答案也没什么用了。

[em07]可以先想一想cube-artist的那个圆周上三点的问题， 在结合 “牛眼”提供的答案（其实那就是正确答案了），可能就会想清楚了！

PS:球上四点这个题我也没做出来，但有同学做出来了的，个人觉得能做出来的都非常牛！

Cielo

QUOTE:

以下是引用乌木在2007-6-4 22:39:31的发言：

那么，也就是说，四个点子各自独立，每个点子的落点都是独立事件。选定某个半球，一个点子落在其中的概率为0.5，（落在分隔两个半球的大圆上的话，是否人为规定一下，半周算这半球；另半周算那半球。不知可以吗？）四个独立点子都在指定半球的概率是0.5×0.5×0.5×0.5＝0.0625（对吗？概率问题我弄不大懂）。但是另半球也有0.0625的概率，而且也符合题目要求，故0.0625+0.0625＝0.125。

为何您的答案不是1/8（＝0.125），而是7/8呢？

呵呵，乌木先生对题目的理解还是不清楚。因为半球不是指定的，是已经给了四点后，在无穷多个可能的半球中只要有一个覆盖了这四点就行！

可以先考虑这个问题：圆周上任给3点，它们在同一个半圆周上的概率是多少？