趣味概率题两则

乌木

代Z.Yu.贴，第2题要您答的。

两道与随机性有关的趣味问题：
1、纸上一组平行线，间距是针长度的2倍，随机向纸面上投针，投掷次数为n，与平行线发生相交的次数为k。“相交率”就是k/n。有意思的是此法可求出圆周率π。π等于相交率的倒数。
a、做实验来验证：用很多大头针撒向划有一组平行线（间距是针长的2倍）的纸。数交点，算比值。针是否弯曲不影响结果。
b、数学证明。以下内容隐藏，用鼠标拖出看。
证明的两个依据，一是当平行线间距一定，“相交率”正比于针长。二是“相交率”与针是否弯曲无关。
这两个依据似乎是“共识”？类似地，在物理中，基于传热量正比于温差（温度梯度），导出热扩散方程。实践中没出什么问题，都认为是对的。只有遇到非线性情况才不能用。
证明：设平行线间距为1，将直径为1的圆环投于划满平行线的纸上，交点恒为2。打开圆环成针，长度为π。即长度为π的针与平行线的相交率为2（必须大数统计）。
已知长度为(1/2)的针相交率为(k/n)，按照相交率正比于针长，则有π : 2＝(1/2) : (k/n)，得π＝(n/k)  。

这个题目是从书上看到的。而实验只是在我头脑中，没做。


2、看到街头地摊的一种“摸彩”。把问题设置得简明一点：
口袋中有黑白球各10个（或用现成的围棋子。可当面数给别人看的），任意摸出10个，列出各种黑白比例的奖项。
黑白的交换是一样的，即4黑6白与4白6黑应等价。若奖额与概率成反比，请列出正常的奖额比率表。（实际去摆摊时应考虑既能赚钱又有吸引力。）可惜当时没有抄下奖额表。这种赌法现已多年不见。
这个题目是我自己设计着玩的，不至我真的去练这种摊。
                                                                                          Z.Yu    2005.06.14.

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-5-25 22:26 编辑 ]

simpley

第二题,概率从大到小是:4黑6白与4白6黑,5,5 3,7 2,9 1,0

ayi2000

哈，摸球这个问题小时学过，而且我还真在街面上见过。
心中知是骗局，但未揭穿。

原题目仿佛是摸一次10元，
10 - 0 或 0-10 ，则退还10元，再奖励10元；
9 - 1 或 1 - 9 ，则退还10元，再奖励8元；
8 - 2 或 2 - 8 ，则退还10元，再奖励6元；
7 - 3 或 3 - 7 ，则退还10元，再奖励4元；
6 - 4 或 4 - 6 ，则退还10元，再奖励2元；
5 - 5 ，对不起，算你点背，10元不退，没收。
骗子说：“看，上面11种情况中有10种都是您挣钱，只有1种是您输钱，机会多大啊，何不来尝试一下！”

以上赔率并非按照实际概率计算，现实生活中多数以价格不等的玩具作为奖品。

全摸10个同色的概率是非常小的，2 /（C20 10）

ayi2000

1 - 9,9 - 1, 2*(C10 1)*(C10 9)/(C20 10)
2 - 8,8 - 2, 2*(C10 2)*(C10 8)/(C20 10)
3 - 7,7 - 3, 2*(C10 3)*(C10 7)/(C20 10)
4 - 6,6 - 4, 2*(C10 4)*(C10 6)/(C20 10)
5 - 5, 2*(C10 5)*(C10 5)/(C20 10)

粗略算了一下，不知道正确否[em04]

乌木

Z.Yu.来信说楼上算法对的。他抽时间初步写了些东西，我代贴于下。

数学概念
全排列：有编号的n个子，排列时交换次序，出现不同的花样，花样的总数为
n!=n(n－1)(n－2)……1
排列：有编号的n个子中取m个来排列，可排出的花样数为
A（n m）＝n！/（n－m）！
组合：n个子（有编号）中取m个，不管这m个子的不同排列。有多少种取法？就是在n个子中取m个的排列中，除去m个的交换排列m!。组合的算式是
C（n m）＝A（n m）！/m！＝n！/〔（n－m）！m！〕
另有 C（n m）＝C（n （n－m））
小实例
4个球，编号为1 2 3 4。1 2是红色，3 4是蓝色。
任取两个，取出的花样有6种：
1 2，1 3，1 4，2 3，2 4，3 4 。这就是组合数 C(4 2)＝6。取得这6种花样的任一种机会是一样的，概率均是1/6。现在不管编号只看颜色，同色的有两种，双色的有4种，因此同色的概率是2/6 (=0.33)。双色的概率是4/6 （＝0.67）。这个小例子说明概率与花样数成正比。（至于同色或双色的花样数如何一般地算出来，则没有说。）
概率与状态（相貌）数成正比是算概率问题的基本法则。用这个统计方法可以说明为什么随机运动的空气分子不会都运动到房间的一角，而把房间里的人留在真空中死掉。（严格地说这种可能性不是完全没有）

摸彩
10个白子10个黑子统一编号1,2,……,20。任取10个（不管黑白），取法共有
C（20 10）＝184756 种。这是有编号的总共花样数。这些花样中有k个是白子，（10 －k）个是黑子的花样有多少呢？k个白子是从10个白子中取得的，取法有C（10 k）种，(10－k)个黑子是从10个黑子中取得的，取法有C（10 （10－k））种，总的花样数是C（10 k）*C（10 （10－k））。
考虑白黑的对称性，k :（10－k）的花样数等于（10－k）: k的花样数。
具体的数值就算出来了，S代表花样数，P代表概率。
K＝0, 即10个同色 S＝2×C（10 10）＝2
P＝2/184756＝1.08*10^（－5）
k＝1，（1 : 9） S＝2×C(10 1)*C(10 9)＝200
P＝2×（C（10 1））^2/C（20 10）＝200/184756
＝1.08*10^（－3）
k＝2，（2 : 8） S＝2×C（10 2）C（10 8）＝4050
P＝2×（C（10 2））^2/C（20 10）＝4050/184756＝0.0219
k＝3，（3 : 7） S＝2×C（10 3）C（10 7）＝28800
P＝2×（C（10 3））^2/C（20 10）＝28800/184756＝0.156
k＝4，（4 : 6） S＝2×C（10 4）C（10 6）＝88200
P＝2×（C（10 4））^2/C（20 10）＝88200/184756＝0.477
k＝5，（5 : 5） S＝C（10 5）C（10 5）＝63504
P＝（C（10 5））^2/C（20 10）＝63504/184756＝0.343
最后应该用概率归一来检验，即各种概率之和为1。这里用花样数来核实
2 + 200 + 4050 + 28800 + 88200 + 63504 ＝ 184756

下面来设计奖赔方案：
求概率倒数，其近似整数值就作为奖金数
头奖 0:10 184756/2＝92378 ≈100000
二等奖 1:9 184756/200＝923.78 ≈1000
三等奖 2:8 184756/4050＝45.62 ≈50
四等奖 3:7 184756/28800＝6.42 ≈6
五等奖 5:5 184756/63504＝2.91 ≈3
末奖 4:6 184756/88200＝2.09 ≈2

若10元钱摸一次，对摊主来说，每经9万次，收入90万，
有1次付出10万，
有100次付出1千，共10万,
有2000次付出50，共10万，
有14000次付出赔6，共8万4
有32000次付出3，共9万4
有44000次付出2，共8万8
总共付出约57万，收益33万。
这样的“科学”方案实际不可行，对摊主来说风险太大，对玩家来说获利的吸引力不夠，后三种都是赔的。

将比例调整（根据心理）：
头奖 0:10 5000
二等奖 1:9 500
三等奖 2:8 50
四等奖 3:7 10
五等奖 5:5 5
末奖 4:6 无

若10元钱摸一次，对摊主来说，每经9万次，收入90万，
有1次付出0.5万，
有100次付出500，共5万,
有2000次付出50，共10万，
有14000次付出赔10，共14万4
有32000次付出5，共16万
有44000次付出0，
总共付出约46万，收益44万。

拿3楼所设的比率来算算
10 - 0 或 0-10 ，则退还10元，再奖励10元；
9 - 1 或 1 - 9 ，则退还10元，再奖励8元；
8 - 2 或 2 - 8 ，则退还10元，再奖励6元；
7 - 3 或 3 - 7 ，则退还10元，再奖励4元；
6 - 4 或 4 - 6 ，则退还10元，再奖励2元；
5 - 5 ，对不起，算你点背，10元不退，没收。
这种方案确有吸引力

6:4和5:5这两种总概率占了80％的大头，分别出现的概率也差不多。马虎地说，摊主一半要赔2元，一半赚10元，平均一次赚4元。这种方案确有吸引力，玩家有一半的人次会赚，但总的是赚少赔多。

用大数来算
若10元钱摸一次，对摊主来说，每经9万次，收入90万，
有1次付出20，
有100次付出18，共1800,
有2000次付出16，共3万2
有14000次付出赔12，共16万8
有32000次不付出
有44000次付出12，共52万8
总共付出约73万，收益17万。（平均一次赚2元，不黑心）

最好把4:6 和 5:5 的地位换一下。

[此贴子已经被作者于2005-7-17 15:24:51编辑过]

ayi2000

哈，5楼算得好仔细！
看了详细计算，发现我有个错误，5-5情况前面不应该乘2。
这样5-5地位就该提前，
4-6，6-4末等

正如5楼算的，5-5设末等时仍然是庄家赚多赔少，
而且摸的次数越多，庄家赚钱越多

simpley

看到这个游戏,使我想起以前我玩的一个赌博游戏,我一度沉迷于这个游戏,说句丢人的话,还被公安抓获两次.内容如下：

你可以押＂天上飞＂（１赔１，就是胜了你押多少可以赢多少）押＂地下跑（１赔１）＂押＂同一动物＂（１赔１０）

有6个会飞的动物,有6个不会飞的动物,把3个乒乓球扔到上面，如果有２个在会飞的动物上，押＂天上飞＂胜，如果有２个在不会飞的动物上，押＂地下跑＂胜，如果三个都在会飞的动物上或都在不会飞的动物上，押＂同一动物＂胜．

我刚开始玩的时候运气还好，胜多输少，不过在那时我就已经算出了其中的概率．知道从概率上自己应该输的，可是在好长的一段时间内还是胜（有时输，但算总帐胜），很庆幸．

知道概率的意义是我不会认真地去思考我究竟应该押什么（很多赌友是要＂分析＂的），因为从概率上讲，这种思考毫无意义．但人有时候还是不由自主地相信直觉．有一次，已经连出了７次＂地上跑＂，本已不准备玩的我这时忍不住想再玩一把，直觉总要对人说，：已经有７次地上跑了，该有一次＂天上飞＂了．实际上，这种想法是不符合概率原则的．那一次，地上跑连出了１３次，所有人都输惨了．我想，庄家不必作弊，游戏规则中的概率已保证他可以胜的．

最后，赢的钱都输进去了（可笑的是，虽然我知道这是必然的，可还忍不住去想，要是押什么什么就好了．）实际上，对概率的了解并不能阻止我沉迷于此．虽然，我总认为自己不同于别的赌徒，概率使我相信在此不能赢钱，但我的心态实际完全是个赌徒了，一天不玩，就六神无主．烦躁不安．只有往赌场一坐，才会找到＂家＂．最后，我不得不承认，我不能自拔了．

幸运的是，有一天，赌场被取缔了，我获救了．当我那天，站在被取缔的赌场前，有庆幸，也有失落．

本来是想说这个问题的概率，一下说了这么多．请有兴趣的朋友算一下它的概率

ayi2000

请问楼上，三个球是否可以停在同一个动物上面，是否除了停在动物上不可能停在其他空白处。

如果可停在同一个动物处，且只能停在动物处不能停在其他空白处，
这个问题就简单了，只要两类动物数量相等，跟动物个数就没啥关系，只跟球多少有关。
简单的分为 飞、跑 两类，
3飞 1/8
3跑 1/8
2飞1跑 3/8
2跑1飞 3/8