部分Jumbling only轴系的Sweet Spot分析·第一部分

下个明天很快来

        这个帖子分析一下一些junbling only轴系的Sweet Spot。

温馨提示：该帖讲的东西以分析轴系为主，但是对相关知识不了解的魔友大概率会听地一头雾水。然而，对于不了解相关的知识的魔友，并不需要弄明白该帖的每一个细节（其实了解了也用处不大，因为这些细节只用在分析轴系的过程中，并不关乎结果。当然，我在写帖的时候也会尽量避免出现过多这些细节），只需注意文章给出的结果

（一）引言
       十年前，即2016年，Matt Galla发表文章Jumbling Geometries Catalog（https://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?t=31193）。在这个帖子中，Matt Galla分析了一些几何体（以双锥多面体、Catalan立体、Johnson多面体为主，当然还有其他的）的一些知识，例如（最典型的Sweet Spot的）jumble角度、Sweet Spot、复合、已被制造的魔方、切割深度等等……这文章的含金量很高，被给予了较高评价。
       然而，毕竟是十年前，对于一些轴系分析较为困难，这篇文章对于一些几何体的分析尚不全面。本帖将聚焦Sweet Spot，展示一些看似司空见惯的几何体的另一面（事实上，通常不止“另一面”，因为很多轴系都有一大堆Sweet Spot…）
       至于其他的东西，例如jumble角度，全写进来文章估计都几万字了，就留着以后填坑吧（

（二）转面鸢二十四面体(FTDI)（前人工作）
       前几章先把前人的工作讲一下，先看鸢二十四轴，它在已被制造的Catalan立体相关魔方中占了很大一部分。这组轴系我在各个地方讲过无数次了，不再赘述。

先说结论：Sweet Spot个数：4

Matt Galla做过一张动图，做得非常好，但由于用户组限制，我无法上传这么大的文件。。。
切割（半切）：本来也p了张合照，也不让传。。。看单人照吧

Sweet Spot 1（Behemoth）
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Sweet Spot 2（FTDI6）
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Sweet Spot 3（Ceremath）
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Sweet Spot 4（相关轴系的魔方尚未被制造，我个人管它叫Starlith）

        按理来说FTDI应该没什么活了，然而它有一个特殊的非Sweet Spot：

转个视角看一下

是的没错，它有Cheese的切割！也就是说，它也是能被打乱的！
这个轴系实际上是Cheese（顶底面法向量(1,1,1)）绕向量(1,0,0)阵列4个(间隔角π/2)得来的

（三）转面四角化六面体(FTTH)（前人工作）
        四角化六面体，这个名字听起来可能有些陌生，但有一个四角化六面体轴系魔友们肯定不陌生：八面体三叶草（VeryPuzzle产）

这就是该组轴系的Sweet Spot 1的典型例子
        这组轴系有一个特点：即使是非Sweet Spot也能打乱，因为这个轴系恒有两个轴正交，可以按122魔方的方式打乱。但这也造成这组轴系没有简单半切。之前有魔友制造了这一个轴系的某个Sweet Spot的半切称其为简单半切实际上是错误的，当然，这并不妨碍那个魔方成为优秀的作品。
不扯别的了，直接开始分析：

Sweet Spot个数：4

Matt Galla依然做过动图，我依然传不上来，截几个图吧~

Sweet Spot 1（上文已经提到）
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Sweet Spot 2（以Celtic Collision为代表，Nathan Sachleben 2025年的作品）也就是这个魔方：

当然还有其他的，这里不一一列举了
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Sweet Spot 3
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Sweet Spot 4


这几张图看不懂的人可能越看越头大，于是模拟出它们的半切改为正立方体（以下几个xml文件由魔友“天使奇迹”编写）


Sweet Spot 1，看似平平无奇，实际上转一下就能看出猫腻。

如图，红色切割是每个FTTH在这时都能转的。但是，这个轴系在此时却新增两条蓝色的切割线能转动。实际上，这个魔方可以看组8瓣Cheese绕向量(1,1,1)阵列3个(间隔角2π/3)得来的
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Sweet Spot 2，这个轴系的最大特点就是没有特点。为了安抚它的情绪放一张转面版本的图

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Sweet Spot 3，可以先看看自己能不能看出来是啥...
看不出来？再放一张图：

这是Cubeultimate（斜转五魔方Pentultimate改为立方体，Jason Smith 2012年的作品）转几步之后的样子
这下豁然开朗了，FTTH Sweet Spot 3实际上是2个Cubeultimate的复合（一个正常放置，另一个绕x/y/z轴中的一个转π/2）！
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Sweet Spot 4，转几下发现有明显的斜转切割。其实，这个轴系就是斜转魔方的移棱版本（即Fisher Skewb，魔域产）绕向量(1,1,1)阵列3个(间隔角2π/3)得来的

（四）转面双锥宝石(Dipyramid，半切时称Minimal)及偏方面体(Trap)
        关于双锥宝石的分析，其实早有人做过。

        Matt Galla曾分析过双六锥宝石有3个Sweet Spot，随着科技进步，它们都有了实物：（仅展示部分）

Sweet Spot 1(半切)：Minimal Hex（左，Oskar van Deventer 2016年的作品）、Gemstone I（右，Ben Streeter 2013年的作品）
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Sweet Spot 2（半切）: Dave's Diamond（David Pitcher，设计时间横跨好几年）
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Sweet Spot 3（次半切的解绑）:六芒星六棱柱（星谜产）

        接下来就是双八锥，Sweet Spot个数：5
        这组轴系被制造出来的魔方并不是很多，并且大多数都是Sweet Spot 4（恰好能和四方偏方面体的Sweet Spot 2扯上关系，稍后解释）
         Sweet Spot 4的半切：


Minimal Octa（左，Oskar van Deventer 2016年的作品）、Gemstone II（右，Ben Streeter 2014年的作品）
其实它们还等价于Deep Trap（El Cubitero 2024年的作品）：


        这组魔方揭示了：n方偏方面体实际上是双2n锥宝石的子集。而我们又注意到，双2n+1锥宝石实际上是双4n+2锥宝石的子集（这几处n取遍能使相应几何体存在的自然数）。于是，分析这些几何体的Sweet Spot时，只需分析所有双偶数锥宝石即可。

        双八锥的Sweet Spot其实还有一个被实现的，不过鲜有人知：Sweet Spot 1，它有一个子集是四方偏方面体的Sweet Spot 1
魔方是Deep GallaTrap（Tang Jingrong 2025年的作品）

以及Minimal Octa 2（我的设计）。Minimal Octa 2本人在去年就完成了打印和组装，不过订好贴纸之后拖延症犯了就一直没完工，一直拖到现在，从未发帖，就Q群挂了几张图…这里挂个图：

Minimal Octa 2（下）和Minimal Octa（上）的对比


        接下来分析双十锥：Sweet Spot个数：8个
        这个轴系的部分Sweet Spot被制作过实物，即Minimal Deca系列（实物有3个，Oskar van Deventer 2018年的作品，都是简单半切的Sweet Spot）

还有一个实物：Gemstone III（Blake Goodhart 2024年的作品），是其中一个魔方做成不镂空的

后来Evgeniy Grigoriev在编写模拟器时，把8个Sweet Spot写完了。我在2025年出过视频（https://www.bilibili.com/video/BV1UTcBe1EMq/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click）

        接下来要分析双十二锥、双十四锥......好吧，后面的Sweet Spot会越来越多且增长速度越来越快，一个一个数是不可能的，我们来思考通法

        对于双2k锥宝石（k≥3且k∈N*），将它的底面置于xy平面我们定义它上下部分的2k个轴（加起来有4k个，实际上它们两两反向）：
不难看出上半部分第i个轴可表示为(cos(iπ/k) , sin(iπ/k) , p) ，下半部分第j个轴可表示为(cos(jπ/k) , sin(jπ/k) , -p) （i,j=0 , 1 , 2 ,... , 2k-2 , 2k-1）
我们只需控制参数p，就能控制整个魔方
由于我们需要的是Sweet Spot，那么我们假设一组二面角相等。由对称性可以先固定一个轴A（这里选择(cos(π/k) , sin(π/k) , p)），然后考虑其他面
利用点乘除以模长的商的反余弦讨论单调性，容易证明对于对于任意的2≤i,j≤k，随着i,j的增大，它们与A的夹角不断增大（如果考虑的是二面角，则二面角不断减小，两种考虑方式本质相同）
那么显然，我们分析双锥宝石的Sweet Spot时，选择的轴夹角相等（或对应的二面角相等）必须来自上下两个部分，我们考虑轴
(cos(rπ/k) , sin(rπ/k) , p)
(cos(sπ/k) , sin(sπ/k) , -p)
要求它们与轴A的夹角相等，列方程解出
p= √((cos(sπ/k)-cos(rπ/k))/2);
对于不同的p，就会有不同的双锥宝石的Sweep Spot（注意：对于不同的r,s，可能输出的p是一样的，也就是说它们共享一个Sweet Spot）
我这里创建了一个表格分析：
先看k=3,4,5

去重后得到：

与之前对双六、八、十锥的分析一致

只需令k=6,7,8...就能得到更多边的锥体：我这里列到k=10，所有均已去重

k=6，9个Sweet Spot

k=7，15个Sweet Spot

k=8，19个Sweet Spot

k=9，24个Sweet Spot

k=10，29个Sweet Spot

如果要讨论更多边的锥，也可照此方法列举，这里不再多写了。若要讨论双奇数锥或偏方面体，只需限定r,s的奇偶性即可。



这篇文章先写到这里，我还分析过一些轴系，由于时间关系先写这么多，后面会出该文的第二部分及第三部分。文章中如果有错误可以告诉我（我是一打字脑子跟不上手的那种，很容易打错字...）。

感谢观看！

cube_master

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像素太大使下载太慢会影响浏览体验。

zhang2345

确实是，图片太大，图、文比例失调，想看清文字就必须放大，这时候图片特别大，当图片合适大小时又文字太小看不清。

otischeng

作為半退魔的魔友, 這篇文章我是看不懂了. 不過也看得出來樓主花了很大的心思整理. 所以還是得讚一下!

下个明天很快来

多谢魔友们提醒。我有空的时候调一下！