该如何抓阄？

乌木

有一个有趣的概率问题，有点佯谬的味道。

一个小组十个人，只分到一张（戏）票。一般都用抓阄法来处理(方法大家熟知)，常常是依次抽取，抽了即打开看。若已有人抽到了，后面的人也不用去抓了。这谁也没有异议。
一次，有个人学了点概率，就寻思上了：第一个抽的人，抽到的概率是1／10，第二个抽的人就有1／9的概率了，越在后面抽的人概率越大！于是他提出，每一个抽的人都应把抽过的签放回去，这样每一个人抽到的概率才相等。
但是，这样又会有别的问题，大家争论不休。孰是孰非，你能给个完满的解释吗？
Z.Yu.
2005-07-19

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simpley

不能放回去.第一个抽到的概率是1/10

第二个抽到的概率是9/10(第一个抽不到的概率)*1/9=1/10

以此类推,都是1/10

如果放回去,后面人就吃亏了

乌木

就是，就是。请看：

讨论和解答

若每一人把抽过的签放回去，让后面的人来抽，难免就会发生：或有几个人都抽得，或没有人能抽到。这样就达不到抽签的目的，显然是不可行的。
再一想，这样来做就不是“抽签”而是“摸彩”了，摸彩是可以多人摸得或没人摸得。
当然还可以规定，大家同时拿取，同时打开看结果。但是依次取、看应该是没问题的，历来这样做，从不出毛病。那个“学了一点概率”的人是聪明反被聪明误了。
题目中有一句话，“第一个抽的人，抽到的概率是1／10，第二个抽的人就有1／9的概率了，……”，有一个容易被人忽略的前提：后面去抽的人只有在前面的人没有抽到的前提下才谈得上有抽到的可能性。一旦有人抽走，后面的人就谈不上什么概率了。考虑这个前提来算概率：

第一个人，抽到的概率是1/10，抽不到的概率是9/10；
第二个人，抽到的概率是第一个人抽不到的概率 乘上 剩余签的比例，即
(9/10)×(1/9)=1/10，
抽不到的概率是 (9/10)×(8/9)=8/10；
第三个人，抽到的概率是 (8/10)×(1/8)=1/10，
抽不到的概率是 (8/10)×(7/8)=7/10；
……

因此，各人抽到的概率是一样的，与先后次序无关。后面抽的人，抽不到的概率是减小了，但不增加能抽到的概率，抽到与抽不到概率之和就是不归一的。
设想“把抽过的签放回去”这种方法增加一条规则：“一旦有人抽到即停止，否则一直轮流循环抽下去”，这样就避免了重复抽到或脱空。先算算概率看：

第一个人，抽到的概率是1/10，抽不到的概率是9/10；
第二个人，抽到的概率是(9/10)×(1/10)=9/100，
抽不到的概率是(9/10)×(9/10)=81/100；
第三个人，抽到的概率是(81/100)×(1/10)=81/1000，……；
……

越在后面抽的人概率越小，根本原因是规则决定了凡是放回去的签都是“空签”。这样的规则粗看起来似乎挺公平，其实是忽悠人。

Z.Yu
2005-07-20

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