一道方程题

kexin_xiao

魔方吧又有新区了——作业辅导

WenZhouRen

设 f(x)=3ax^2+2bx+c
f(0)=c
f(1)=3a+2b+c
用f(0)和f(1)的值异号，是可以证明0和1之间必有一解。
--------------------------------------------------------------------------------------
但若f(0)和f(1)的值同号，不能排除无解。 这种情况：  若0<-b/3a<1 ，f(-b/3a)与f(0)异号，照样有解（有两解）
                                                                                         f(-b/3a)是f(x)的极值。
证明如下：
若f(0)和f(1)的值同号：那么a、c必同号。
f(1)=3a+2b+c=2a+b
f(0)=-(a+b)
f(0)*f(1)=-(a+b)(2a+b)>0   
所以   a+b>0且 2a+b<0       第一种情况
     或   a+b<0且 2a+b>0       第二种情况
   第一种情况   得出a<0，  1/3 < -b/3a < 2/3
    第二种情况   得出a>0，  1/3 < -b/3a < 2/3
无论哪种情况，f(x)取极值的x = -b/3a    都在1/3和2/3之间，即在0和1之间。
而
f(-b/3a)=b^2/3a-2b^2/3a+c=-b^2/3a-a-b=-1/3a *(b^2+3ab+3a^2)=-1/3a * (  (b+1.5a)^2+0.75a^2  )
因为a 和 c 同号，所以
         f(0)*f(-b/3a)=c *  (-1/3a )* (  (b+1.5a)^2+0.75a^2  )<0   
因此 f(x)在0  和1 之间有两解。