【悬赏一个高仿的Rubik三阶魔方】求一个问题的证明

Cielo

按照楼主的提示：
对任意一个题中所说的向量 F，它对应了两个集合：A={m∈Σ|f_m∈S₁}，B={k∈Σ|f_k∈S₂}，这里 Σ 是指标集{1,2,……,n}，Σ 有2ⁿ个不同的子集；
由于A、B都是 Σ 的子集，它们可以取的不同的状态数 ≤ 2x2ⁿ，只有有限个！

对于其中任意一种组合(A,B)，题中条件意味着 F 的分量需要满足一个限制方程，这说明 F 必需在某个超平面里，
而有限个超平面的并集的测度是0，所以满足条件的F组成的集合是0测集。

azlpub

谢谢楼上的回复，跟我的思路差不多，呵呵。
请问一下，为什么状态数≤ 2x2^n，我觉得是≤ 3^n，可否具体的算一下到底有多少个这样的超平面吗？
回头我在把证明整理一下你在帮我看一下，没有问题了，我就把魔方寄给你，呵呵。
多谢了！

肥熊

呵呵..我才初中..
根本看不懂啊..

Cielo

原帖由 azlpub 于 2009-5-5 21:32 发表
谢谢楼上的回复，跟我的思路差不多，呵呵。
请问一下，为什么状态数≤ 2x2^n，我觉得是≤ 3^n，可否具体的算一下到底有多少个这样的超平面吗？
回头我在把证明整理一下你在帮我看一下，没有问题了，我就把魔方寄给 ...

嗯，我的说法有误，谢谢你指出！
应该这样：对于某一个 A，设 |A| = a，则这样的 A 有 nCa 种，相应的 B 只有 2^n-a种，这样应该是 ∑nCa x 2^n-a= 2ⁿ x (1+2^-1)ⁿ=3ⁿ，这里是a从0到n求和，用到了二项式定理。

呵呵真的寄给我个魔方啊，太感谢了哦

azlpub

证明过程更新在顶楼了，麻烦你再帮忙看看有没有错误。PM你的地址，呵呵。
另外，你有没有求出超平面的具体个数？我算的是(3^n-3-2(2^n-2))/2，所以说严格来说应该是小于等于3^n/2，不知道对不对，呵呵。

Cielo

如果 S₁、S₂ 不能是全集或者空集，那么需要减去的情况有：A 是空集的 2ⁿ 种，B 是空集的 2ⁿ 种，其中重复了它们都是空集的 1 种，所以应该是 3ⁿ-2x2ⁿ+1；
此外，A，B的顺序交换后仍是同一个超平面，所以需要除以 2，(3ⁿ-2x2ⁿ+1)/2 应该和楼上的答案一样了吧！