这题确实不会了

石崇的BOSS

如图，线段PA,PB与圆O相切，A,B是切点，PCD是不经过点O的圆O的割线，C在P,D之间，经过点C的圆O的切线交PA,PB于M,N，G是线段CD上一点，且∠CGM=∠CGN，求证：GC=GD.

lulijie

不用动脑的方法，可以用解析几何：
以PO为Y轴建立直角坐标系，圆的半径为单位长度，那么圆的方程为x^2+y^2=1
假设两个点的坐标P(o,h)，C(Cosθ，Sinθ)。
其他点的坐标都可以解出。最后根据GM与GC所成的角等于GN与GC所成的角，解出G点的坐标。
证实G点为CD的中点即可。

mofangPYH

你在干嘛，这是魔方论坛，但真的挺难！！！！！！！！

superacid

lulijie，你可以不要老是用解几方法吧，换一点新的。

lulijie

哈哈，十几年没用数学，关于纯几何的东西差不多忘光了。现在看到几何题就有些头疼。

superacid

同上，我现在退役了半年了，也差不多忘了。

石崇的BOSS

连接GA,GB
设∠MGC=∠NGC=a，∠MGA=b，∠NGB=c
易证PA=PB,MC=MA,NC=NB
这样有
S△AMG/S△APG=AM/AP=MGsin(b)/[PGsin(a+b)]
S△BNG/S△BPG=BN/BP=NGsin(c)/[PGsin(a+c)]
相除得到
AM/BN=(MG/NG)sin(b)sin(a+c)/[sin(c)sin(a+b)]
而由角平分线定理得到
MG/MC=NG/NC
带入得到
sin(b)sin(a+c)/[sin(c)sin(a+b)]=1
sin(b)sin(a+c)=sin(c)sin(a+b)
sin(b)sin(a)cos(c)+sin(b)sin(c)cos(a)=sin(c)sin(a)cos(b)+sin(c)sin(b)cos(a)
tan(b)=tan(c)
b=c
这样有∠MGA=∠NGB，∠PGA=∠PGB
然后由正弦定理得到
PA/sin∠PGA=PG/sin∠PAG
PB/sin∠PGB=PG/sin∠PBG
相除得到
sin∠PAG=sin∠PBG
由于PD不是直径，∠PAG显然不会等于∠PBG
因此∠PAG+∠PBG=180
P、A、G、B共圆
另外易证P、A、O、B共圆
因此P、A、G、O、B共圆
这样有∠OGP=∠OAP=90
所以G为CD中点

thief

悲哀啊···我才会议一个多月·····不行了···
想当年几何还是我的强项·····还有立体几何·····
现在我觉得立体几何还简单些·····
要是有立体几何的题，可以来找我试试····

Cielo

呵呵一开始想直接证发现比较麻烦就没接着想了，偷懒用个同一法吧：
设 E 是 CD 的中点，
则 PABEO 五点共圆，
有∠PEA =∠POA =∠POB =∠PEB，∠PAE = 180°-∠POE，∠PBE =∠POE
又由正弦定理，有
sin∠AEM / sin∠PAE = AM / EM = CM / EM = sin∠CEM / sin∠MCE
sin∠BEN / sin∠PBE = BN / EN = CN / EN = sin∠CEN / sin∠NCE
两式相除得（注意sin∠PAE = sin∠PBE，sin∠MCE = sin∠NCE）
sin∠AEM / sin∠CEM = sin∠BEN / sin∠CEN
又∠AEM +∠CEM =∠PEA = ∠PEB =∠BEN +∠CEN
故∠AEM =∠BEN，∠CEM =∠CEN
即 EC 是∠MEN 的平分线，
最后同一法易知（只需用全等即可推出矛盾）E、G 重合，所以 G 是 CD 的中点.