夺宝博弈:P

ares_g

看版里旧帖居多，发个前段时间突然想到的博弈问题。不知道有没有前人已经研究过，私下里叫“夺宝问题”。已经先放到QQ日志里了，嘿嘿。
情形如下：江湖有一宝物，多个武林高手同时发现，进行争夺。高手们各怀鬼胎，武功也各有高低，但宝物只有一个，因此必须想法杀掉其他高手，绝不可能出现两人同时活着。
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游戏模拟：
1、玩家n名（n>2）；有n张卡片，各写1-n不同整数。
2、游戏采取回合制，当没有玩家可以进行“攻击”时，游戏结束。
3、每回合，玩家各抽取1张游戏卡拿在手中，卡片号码只能自己知道。执卡者写下“攻击”“目标”的号码，当所有玩家都写完且不再改动时，亮出自己的卡片号码和“攻击”“目标”。以下玩家放下卡片（“濒死”）：
~  a、受到的“攻击”不是来自自己“攻击”的“目标”；
~  b、受到比自己号码大的玩家的“攻击”。
所有玩家“攻击”结束后，“濒死”者失去卡片（“死亡”），卡片放回卡堆。手中持有卡片的玩家（“活”玩家）进入下一回合。
4、每回合内“攻击”不分先后，“濒死”者“攻击”仍然有效。
5、玩家“攻击”的“目标”只能是非己的“活”玩家。
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博弈：
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1. 三人以下是无意义的：一个人的时候不需要夺宝，两个人的时候武功高（数字大）的必然胜利，夺取宝物。
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2. 当有三人的时候，一开始，1号和3号不太容易判断应该攻击谁，从2号判断稍微简单：
2.1. 如果2号先攻击1号，则1必死，此种情况下若：
2.1.1 1号杀掉3号，说明3号没有攻击1号而是攻击2号，2号也必死；
2.1.2 1号未杀掉3号，那么3号会留到下一轮，2号在下一轮也必死。
2.2 所以2号若先攻击1号就得不到任何好处，应当先攻击3号。如此一来，3号有两种选择：
2.2.1 攻击1号而不攻击2号。因为2号攻击自己，这样会导致被2号杀掉，所以此做法不可行；
2.2.2 攻击2号，这样可杀掉2号，将命运交给1号。
这样一来，就会成为2号和3号互相攻击，导致2被杀，所以1就没有必要攻击2号，会攻击3号。结果是1号获胜。
三人的时候应该还算不上博弈，只能算推理吧。那四个人呢？
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3. 当有四个人的时候，很显然，根据游戏规则，每人应尽量避免自己死亡。所以四人在第一轮不能出现“环杀”，即任何人攻击的目标没有攻击自己，不然就会造成所有人第一回合全部死亡的局面。再结合三人情形，可以得出结论：
3.1. 在第一轮中，每个人除了希望自己不被杀以外，还希望：
3.1.1. 1号：其他三人都被杀；或者只死一个人。
3.1.2. 2号：只死1号；或者3号和4号都死。
3.1.3. 3号：包含4号的至少两人死。
3.1.4. 4号：至少两人死。

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3.2. ……
我也晕了，哎……有感兴趣的来说两句吧。谢谢各位了！

mowxqq

“卡片号码只能自己知道”这个应该不对吧，不然第一轮都不知道对方是什么牌，必然都是盲目攻击，也就没有所谓的策略。
“2.2.1 攻击1号而不攻击2号。因为2号攻击自己，这样会导致被2号杀掉，所以此做法不可行；2.2.2 攻击2号，这样可杀掉2号，将命运交给1号。”
这两句话中把1号和2号对调下也行的通，因此三人情况下最后胜者有可能是1号也有可能是2号，这得取决于3号攻击谁。
可以把所有情况列出如下，表中明显只有情况6对1有利，因此1必须会毫不犹豫地攻击3，2号同理只有情况5对他有利，也就1号和2号必然都会攻击3号，但是3号却拿不准会攻击谁，反正结果都是他死。

[ 本帖最后由 mowxqq 于 2011-12-1 21:59 编辑 ]

屁孩纸

好复杂。

我玩了，我完了。。。

mowxqq

如果人数增加到4人，那么总共有3^4=81种情况。大概列了下，对1来说不管攻击谁最后胜出的机率都一样；对2来说攻击4最后胜出的机率大点；对3来说攻击4最后胜出的机率大点；对4来说攻击3最后胜出的机率大点。
也就是2和3必攻击4，4必攻击3，也就3和4必死，那么1肯定会选择优先攻击2，最后胜出者为1。

ares_g

卡片好只能自己知道是为了防止某两人关系好算计别人。攻击的时候指定号码就行了。
2楼你是高手，三人中的确是3有非常大的决定权。

[ 本帖最后由 ares_g 于 2011-12-2 13:16 编辑 ]