教程（04）利用转动序列的换位子寻找公式

hubo5563

利用转动序列的换位子寻找魔方块的三轮换公式


     我们讨论的是任意的魔方。在同一魔方里才有意义。以下都是在同一魔方里展开论述。
     定义：每转动一次魔方，叫做单步转动。魔方的有序转动可以用单步转动的序列表示，叫做转动序列。
转动序列里的单步转动个数叫做转动序列的长度。转动序列的长度可以是任意正整数。
       我们把不做转动的特殊情况，也看做长度为0的转动序列，记作I。
      先做转动序列X再做转动序列Y结果也是一个转动序列，叫做X和Y的乘积记作XY。
      显然，任意的单步转动X，反向做同样的转动记作X'，有
       XX'=I
       X'X=I
X'叫做X的逆。
       任意转动序列X如果存在转动序列Y使得XY=I成立，那么Y叫做X的逆转动序列，简称逆，记作Y=X'。
      定理1：魔方任意转动序列都有逆。事实上任何转动序列都可以用单步转动表示;
      X＝X1X2X3....Xn-1Xn
      X的逆就是它们逆的倒序;
      X'＝X'nX'n~1，，，X'3X'2X'1
特别是如果
      X＝YZ
  那么
     X＝Z'Y'。
       魔方每个转动序列X都要变换魔方的一部分块，这部分块叫做转动序列X的活动集。也有一些块原地不动，叫做转动序列X的不动集。
       I的活动集为空集，不动集为魔方的全部块。
      由于任何转动序列X有;
      XX'＝I
表示X把活动集里的任意一个位置A的块a转动到位置B，那么X'就把位置B的块转动到位置A，也就是说把块a返回原位A。
      任意两个转动序列X与Y，转动序列Z＝XYX'Y'叫做X和Y的换位子，记作[X,Y]。
      Z'=[X,Y]=YXY'X'=[Y,X] 是Y和X的换位子。
      当两个操作的活动集不相交时，有XY=YX，它们的换位子，作为一个转动序列，实际上不改变任何魔方块，也就是一个I；换位子实际上是对两个操作的可交换性的一种度量。
      定理2：如果转动序列X与转动序列Y的活动集只有一个位置A，那么换位子Z=[X,Y]是魔方的三轮换。
      如果X把位置A的块移动到位置D，把位置B的块移动到位置A，Y把位置A的块移动到位置E，把位置C的块移动到位置A。魔方所有块分为四种：
      1，是X不动集的块，也是Y不动集的块，由于X，Y都不动，Z也不动。
      2，与A位置相关的块，有A，B，C，D，E这五个块，下面分析做Z序列后，这五个块位置的块变化。
      有四种情况：
          1）五个位置没有重合，五个位置A，B，C，D，E就是真正的不同位置，假定初始各位置的块是a,s,c,d,e，为清楚起见我们表示为
         块：      a , b , c,   d,  e
       位置：     A, B,  C,  D,  E
      做X，变为：
        块：      b, b1, c,  a,  e      
         位置： A, B， C, D, E     b1是另外的块
     做Y，变为：
        块：   c,  b1, c1, a,  b   
    位置：   A,  B,   C,  D,  E    b1，c1是另外的块
     做X’变为：
       块：       a,  c,  c1,  d,  b
   位置：       A,  B,   C,  D,  E    c1是另外的块
     做Y'，变为：
     块：         b,  c,    a,   d,  e
  位置：        A,  B,   C,   D,  E
    做完Z序列前后，比较：
         块：     a , b ,  c,   d,  e
       位置：   A,   B,  C,  D,  E
     块：         b,  c,    a,   d,  e
  位置：        A,  B,   C,   D,  E
  D，E位置的块相当没动，A，B，C，位置的块进行了三轮换,[X,Y]是一个三轮换。
      2）位置B和位置D重合，位置E不与C重合，此时实际与A相关的块和位置有4个：A，B，C，E ，对应的块 a , b , c,  e
         块：      a , b , c,   e
       位置：     A, B,  C,  E
      做X，变为：
        块：      b, a,    c,  e      
         位置： A, B， C,  E   
     做Y，变为：
        块：   c,  a,    c1,   b   
    位置：   A,  B,    C,    E   c1是另外的块
     做X’变为：
       块：       a,  c,  c1,    b
   位置：       A,  B,   C,    E    c1是另外的块
     做Y'，变为：
     块：         b,  c,    a,   e
  位置：        A,  B,   C,   E
    做完Z序列前后，比较：
         块：     a , b ,  c,    e
       位置：   A,   B,  C,    E
     块：         b,  c,    a,    e
  位置：        A,  B,   C,    E
    E位置的块相当没动，A，B，C，位置的块进行了三轮换。
      
     3）位置C和位置E重合，位置B不与D重合，此时实际与A相关的块和位置有4个：A，B，C，D ，对应的块 a , b , c,   d
         块：      a , b , c,   d
       位置：     A, B,  C,  D
      做X，变为：
        块：      b, b1,   c,   a      
         位置： A, B，  C,   D   
     做Y，变为：
        块：   c,   b1,    b,   a   
    位置：   A,   B,     C,   D   c1是另外的块
     做X’变为：
       块：       a,  c,   b,    d
   位置：       A,  B,   C,    D   
     做Y'，变为：
     块：         b,  c,    a,   d
  位置：        A,  B,   C,    D
    做完Z序列前后，比较：
         块：     a , b ,  c,    d
       位置：   A,   B,  C,    D
     块：         b,  c,    a,    d
  位置：        A,  B,   C,    D
    D位置的块相当没动，A，B，C，位置的块进行了三轮换。
     4）位置B和位置D重合，位置F与C重合，此时实际与A相关的块和位置有3个：A，B，C，对应的块 a , b , c,  
         块：      a , b , c,   
       位置：     A, B,  C,
      做X，变为：
        块：      b, a,    c,        
         位置： A, B， C,     
     做Y，变为：
        块：   c,  a,     b，   
    位置：   A,  B,    C,
     做X’变为：
       块：       a,  c,   b，
   位置：       A,  B,   C,
     做Y'，变为：
     块：         b,  c,    a,  
  位置：        A,  B,   C,   
    做完Z序列前后，比较：
         块：     a , b ,  c,
       位置：   A,   B,  C,
     块：         b,  c,    a,
  位置：        A,  B,   C,
     A，B，C，位置的块进行了三轮换。
从图可以看出，四种情况不管哪种，最后做完Z后都产生了三轮换：
       块：         b,  c,    a,
   位置：         A,  B,    C,

      3，是X活动集的块，是Y不动集的块，不包括D位置的块。
       做X序列时把它移动到新的位置，做Y序列时它不动，再做X'时，又被移动到原来自己的位置了，再做Y’时它不动，所以它是Z的不动块集的块。
      4，是X不动集的块，是Y活动集的块，不包括E位置的块。
       做X序列时它不动，做Y序列时把它移动到新的位置，再做X'时，它不动，再做Y’时又被移动到原来自己的位置了，所以它是Z的不动块集的块。

       总之，换位子Z=[X,Y]=XYX'Y'除了块a,b,c的三轮换，不改变魔方其他任何块，是一个单纯三轮换。

     定理3：如果转动序列X和转动序列Y的活动集的交有两个块位A,B,转动序列X是把位置C,D的块c,d移动到A,B,把A,B位置的块a,b移动到另外位置E,F的转动序列，转动序列Y是把A,B位置的块互换的转动序列，那么转动序列Z=[X,Y]=XYX'Y'是两个对换的积(a,b)(c,d)。
      
      魔方所有块分为四种：
      1，是X不动集的块，也是Y不动集的块，由于X，Y都不动，Z也不动。
      2，与A，B位置相关的块，有A，B，C，D，E，F这六个块，在下面将分析做Z序列后，这六个块位置的块变化。
      3，是X活动集的块，是Y不动集的块，不是C，D，E，F位置的块，做X序列时把它移动到新的位置，做Y序列时它不动，再做X'时，又被移动到原来自己的位置了，再做Y’时它不动，所以它是Z的不动块集的块。
      4，是X不动集的块，是Y活动集的块，显然它们不是A，B位置的块。做X序列时它不动，做Y序列时把它移动到新的位置，再做X'时，它不动，再做Y’时又被移动到原来自己的位置了，所以它是Z的不动块集的块。
      下面只讨论与A，B位置相关的块：
       做Z=[X,Y]=XYX'Y'转动序列前，
       a    b    c    d    e    f
      A    B    C    D   E    F
做X序列后:
       c    d    c1  d1  a   b
       A    B    C    D   E   F
做Y序列后：
       d    c    c1   d1   a  b
       A   B    C     D    E   F
做X'序列后：
        a   b   d    c    e    f
       A   B   C    D   E    F
做Y'序列后：
       b   a    d    c   e     f
       A   B   C    D   E    F
这就是两对换之积(a,b)(c,d).

    定理4：如果转动序列X和转动序列Y的活动集的交有两个块位A,B,转动序列X是把位置C的块c,移动到A位置，把A,位置的块a移动到B位置,把B位置的块b移动到另外位置D的转动序列，转动序列Y是把A,B位置的块互换的转动序列，那么转动序列Z=[X,Y]=XYX'Y'是一个三轮换(a,c,b)。
   魔方所有块分为四种：
      1，是X不动集的块，也是Y不动集的块，由于X，Y都不动，Z也不动。
      2，与A，B位置相关的块，有A，B，C，D这4个块，在下面将分析做Z序列后，这四个块位置的块变化。
      3，是X活动集的块，是Y不动集的块，不是C，D位置的块，做X序列时把它移动到新的位置，做Y序列时它不动，再做X'时，又被移动到原来自己的位置了，再做Y’时它不动，所以它是Z的不动块集的块。
      4，是X不动集的块，是Y活动集的块，显然它们不是A，B位置的块。做X序列时它不动，做Y序列时把它移动到新的位置，再做X'时，它不动，再做Y’时又被移动到原来自己的位置了，所以它是Z的不动块集的块。
     下面只讨论与A，B位置相关的块：
       做Z=[X,Y]=XYX'Y'转动序列前，
       a    b    c    d   
      A    B    C    D
做X序列后:
       c    a    c1    b  
       A    B    C    D
做Y序列后：
       a    c    c1   b
       A   B    C     D
做X'序列后：
       c    b   a    d
       A   B   C    D
做Y'序列后：
       b    c   a    d  
       A   B   C    D  
这就是一个三轮换(a,c,b)。

      


利用转动序列的换位子寻找魔方块的翻转公式

调整朝向
       多数魔方除了块的移动外，可能还有魔方块的朝向问题。也就是块的翻转朝向。
       定理5：如果转动序列X与转动序列Y的活动集只有一个魔方块A的交集，X是一个转动A位方向的转动序列,Y是一个把B块移动到A处的转动序列。那么X和Y换位子Z=XYX'Y'就是一个调整块A和块B方向的转动序列，并且一个正转一个角度，另一个倒转同样角度。
      由于X转动A位的块，X'也是一个转动A位的块的转动序列，并且肯定转动方向与X相反转动度数相同，不然XX'=I就不成立。
      实际上做完X序列，X的活动集除了A位的其它块都不在Y序列的活动集里，所以，做Y序列时和Y'序列时都不会影响它们，再做X'时就会复原。只有A位的块a做了一个反转，假定顺时针转动了x度，再做Y序列时，Y把它移动到新的位置A1，把B位的块b移动到A位置，再做X'转动序列时，把A位的块b逆时针转动x度，Y活动集的其它块不受影响，然后做Y'转动序列时，把b块移动到原来的B位，此时，b块已经逆时针转动了x度，把A1位置的a块移动到位置A处，此时a块还是顺时针转动了x度，同时把其他位置的块复原到原来位置。所以，Z=XYX'Y'序列只将A位的块a转动一个角度，把B位置的b块反向转动同样的角度，其他块保持不变。



制造其它的3-轮换和调整块朝向公式
      当我们找到一个三轮换公式或翻两块公式后，我们可以用一种技术，称为预置（setup）：尽管我们无法用换位子直接应对其它不在换位子活动集的魔方块，不过我们可以先把魔方变换到可以运用符合要求的情况（这一步称为“预置”），运用公式后，再逆变换（undo-setup）抵消之前的预置，就可以实现其他的三轮换和翻块操作。

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几个例子
例子1:菊花五魔方
X=L；Y=W'；X'=L';Y'=W;

X的活动集为红色面转层上所有块，Y的活动集是亮绿面转层上的所有块。两个转层的交集就是粉蓝棱。
换位子Z=L;W';L';W;
是一个三轮换。














例子2:三阶魔方

X=F';R;F;R'; X'=R;F';R';F;

Y=U;  Y'=U';

X、Y活动集的交集只有一个块，就是红、白、蓝块的位置。


换位子
Z=XYX'Y'=F';R;F;R'; U; R;F';R';F; U';










是角块的三轮换。


例子3：四层转面八面体

X=UFL;UBR';UFL';UBR;URF';UBR';UFL;UBR;UFL';URF; X'=URF';UFL;UBR';UFL';UBR;URF;UBR';UFL;UBR;UFL';













Y=DRB';  Y'=DRB;












X、Y的活动集的交只有红绿黄紫角块位置。



X、Y的换位子：
Z=XYX'Y'=UFL;UBR';UFL';UBR;URF';UBR';UFL;UBR;UFL';URF; DRB';URF';UFL;UBR';UFL';UBR;URF;UBR';UFL;UBR;UFL';DRB;

Z是一个单纯的角块三轮换。













例子4：转角五魔方5
X=FVL';FRW;FVL;FRW';X'=FRW;FVL';FRW';FVL;












Y=URF;UBR';ULJ;UBR;ULJ';URF';Y'=URF;ULJ;UBR';ULJ';UBR;URF';












X,Y的活动集的交集只有蓝面中心块。



因此X和Y的换位子
Z=XYX'Y'=FVL';FRW;FVL;FRW';URF;UBR';ULJ;UBR;ULJ';URF';FRW;FVL';FRW';FVL;URF;ULJ;UBR';ULJ';UBR;URF';
就是一个中心块的三轮换：

hubo5563

整合到一楼了，
这里举例.

hubo5563

例子5：三阶魔方
X=(F';R;F;R';)2;   X'=(R;F';R';F;)2;










Y=U; Y'=U';



X和Y的活动集的交只有红蓝白角块位置的块，并且X把该位置的块逆时针转动120度，X‘把该位置块顺时针转动120度。


Z=XYX'Y'=(F';R;F;R';)2;U;(R;F';R';F;)2; U';













Z是把红蓝白角块逆时针转动120度，把白橙蓝角块顺时针转动120度的翻角块公式。

例子6：菊花五魔方
X=U2;J';B';U2;  X'=U'2;B;J;U'2;













Y=L';R;L;R'; Y'=R;L';R';L;













X和Y的活动集的交只有白蓝棱的棱块位置，并且X把这里的块转动180度。



Z=XYX'Y'=U2;J';B';U2; L';R;L;R';U'2;B;J;U'2;R;L';R';L;













换位子Z=XYX'Y'是反转白蓝棱和粉蓝棱块的棱块翻色公式。

乌木

下面的三轮换也是换位子一例吧？

hubo5563

乌木 发表于 2024-10-9 19:22
下面的三轮换也是换位子一例吧？

是的，X和Y不是换位子三轮换，
XYX'Y'就是换位子三轮换。X’的等价形式就是X‘。从群论角度讲，可逆元素是唯一的。

乌木

hubo5563 发表于 2024-10-9 21:31
是的，X和Y不是换位子三轮换，
XYX'Y'就是换位子三轮换。X’的等价形式就是X‘。从群论角度讲，可逆元素 ...

X和Y不是换位子三轮换的原因，是不是因为X和Y除了同面棱块三轮换外还有同面的心块也三轮换了？
只不过，在XYX'Y'之后，X和Y伴有的心块三轮换又都逆换回去了。

hubo5563

乌木 发表于 2024-10-9 21:57
X和Y不是换位子三轮换的原因，是不是因为X和Y除了同面棱块三轮换外还有同面的心块也三轮换了？
只不过， ...

X和Y不是用换位子找到的三轮换，是序列方幂形式的三轮换。
它的原理以后再讲。

乌木

hubo5563 发表于 2024-10-9 22:48
X和Y不是用换位子找到的三轮换，是序列方幂形式的三轮换。
它的原理以后再讲。

噢。
此外，下例中，换位子XYX'Y'之中的X和Y本身是2楼例1的换位子，所以，下例是用换位子来构成新的换位子。对吧？

hubo5563

是换位子三轮换，这个没必要这么复杂。










做一个setup再做一个换位子三轮换，再返回即可。