[求助]35子棋怎么排？

乌木

36个位置，35个子，初态是混乱的，只能一次走一子，走入空格，相当于空格在移动，即空格的四面的任一子可以移入空格。头33个子还好排，最后34和35要求对换，玩不转啦，求助！有无解的可能吗？

[此贴子已经被作者于2006-12-31 11:43:02编辑过]

yzsjw0

数学家已得出结论，奇数排列无解。

图1.8 重排九宫游戏

重排九宫的发明，真正标志着魔方走出了数学。重排九宫的花样变化是通过棋子的移动来实现的，而现代鲁毕克魔方是通过转动来变换花样的。从数学的角度看，重排九宫和现代魔方的根本差别在于维数和力学构造。据《独粒钻石和华容道》记载，在元代（公元13世纪）重排九宫传到西方，也就是说，中国的魔方是13世纪走向世界的。外国人在重排九宫的基础上，发明了15子棋。

（3）15子棋

如图1.9 (a)是宋代杨辉编制的四阶幻方。图1.9 (b)是由图1.9 (a)各宫减去1得到的，满足幻方的定义，即

横线：1+15+12+2=10+4+7+9=6+8+11+5=13+3+14=30

纵线：1+10+6+13=15+4+8+3=12+7+11=2+9+5+14=30

对角线：1+4+11+14=2+7+8+13=30

图1.9 四阶幻方和15子棋

由于图1.9 (b)不满足 <!--[if !vml]--><!--[endif]-->规则，因此，我们称其为准四阶幻方或15子幻方。如果把图1.9 (b)的15个数字制作成15个棋子，这就是15子棋了。15子棋实质上是8子棋的一种发展。

15子棋是19世纪70年代由美国人萨木埃·劳德（Sam Loyd）发明的。15子棋也称为15个数的游戏，曾经流行于全世界，并在1880年达到狂热的顶点，不过不久就被数学所征服。15子棋的玩法和重排九宫一样，也是通过移动，把搅乱了的编号棋子复位，使之回到它们原来按顺序编号的适当位置上。

从下面的描述中，我们可以看出15子棋对世界的影响之大，并且使得人们在后来发明新的游戏（或玩具）时，自觉或不自觉地要以15子棋为基本参考点。

德国数学家阿连斯写到：“大约半个世纪以前—19世纪70年代末，美国出现了15子棋的游戏，这种游戏很快就流传开了，无数棋迷被它弄得神魂颠倒……”

“大洋这一边的欧洲，此时也出现了同样的情况。在巴黎，这种游戏在露天里，在林荫道上都找到了安身之所……”

15子棋的发明者劳德描述道：“在70年代初，我是怎样使整个世界都为一盒活动棋子大伤脑筋的。一个小盒子里，放有15颗棋子，按照正规顺序排列，如图1.10(a)所示。如果只有14和15两个棋子互换了位置，如图1.10 (b)，要解的问题是：逐一移动这些棋子，把14和15两棋子的位置更正过来，使所有棋子都排列成正常的位置。当时拿出了1000美元奖金，准备奖给能够正确解答此题的第一个人。尽管人们都孜孜不倦地努力求解，但谁也没有得到这份奖励”（数学家阿连

图1.10 15子棋游戏

斯证明，图1.10 (b)是一种不可解的排列）。人们议论着各种趣闻，什么商人为此忘记开张营业啦，一些高官显宦通宵达旦地停留在路灯底下寻找答案啦，船员由于摆弄这个游戏竟然把船搁浅到沙滩上，火车司机把列车开过了站等等。著名作家马克吐温在他的小说《美国的逐鹿者》里，也有过类似的描述。

由于15子棋有这么大的魔力，因此，人们也把15子棋叫做魔块。重排九宫和15子棋都可以叫做魔方，前者是准三阶一维魔方，后者是准四阶一维魔方。

阳光

把空格留在左上方，第一行      1， 2， 3， 4， 5

                  第二行  6， 7， 8， 9，10，11

                 

 

                  第六行 30，31，32，33，34，35

   大功告成也！

[em01]

乌木

不过，阳光兄说的好像等价于空格留在右下方，把35当1，34当2，……2当34，1当35。

问题是，如果把您说的的花样作为目标，假如最后出现：

“空格，21345；6～11；……30～35”，那么，该如何交换2和1？

照沈兄说的，那么，35子棋是否和15子棋一样？是否该副玩具属于错装的？反正我是一时玩不转，只好把它重装了。拆装要点：

其纵横轨道是由一块块正方形架空小底版隔出来的，中心的几块小底板是活的；每个圆形编号棋子的下面有小弹子和小弹簧，别弄丢了。装入时我是用一纸条吊托住弹子、弹簧，装好后再抽去纸条。

[此贴子已经被作者于2007-1-3 11:35:12编辑过]

阳光

上次说的不对，根据图片情况，这次肯定没问题！

这次自己检验了一下，应该排成这样，空格还是留在右下角，不过数字要竖着排：

     第一列   第二列   第三列   第四列   第五列   第六列

        1        7       13       19       25       31

        2        8       14       20       26       32

        3        9       15       21       27       33

        4       10       16       22       28       34

        5       11       17       23       29       35

        6       12       18       24       30

 

   还有就是如果要求必须横着排，从右向左排就可以了：

       6   5   4   3   2   1

      12  11  10   9   8   7

      18  17  16  15  14  13

      24  23  22  21  20  19

      30  29  28  27  26  25

          35  34  33  32  31

      

[em01]

乌木

啊，你5楼的两种排法毫无区别，它这副棋子是正方形的，整体旋转90°就是5楼的两个图案。

这副35子棋的说明书有6道题：除了您5楼图案外，还有：

 1  2  3  4  5  6
 7  8  9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35      常规排列。

 1  2  3  4  5  6
12 11 10  9  8  7
13 14 15 16 17 18
24 23 22 21 20 19
25 26 27 28 29 30
   35 34 33 32 31   来回排列。

还有斜着依次排列，外向内回纹排列和内向外回纹排列。

我1楼的问题是，常规排列遇到最后35和34不对，可以交换吗？看了沈兄的提示，看来不行的，对吗？

yzsjw0

阳光兄三楼说的没有错，也是数学家得出的结论。把空格留在左上方实际上是偶数排列。

把空格留在左上方，第一行      1， 2， 3， 4， 5

                  第二行  6， 7， 8， 9，10，11

                 

                 第六行 30，31，32，33，35，34

可排成

1  2  3  4  5  6
……………
……………
……………
……………
31 32 33 34 35 X 

1楼可排成

 x 1  2  3  4  5  

6 7  8  9 10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23

2425 26 27 28 29

3031 32 33 34 35    

类似玩具最简单的是“八仙过海”，原理是一样的．

[此贴子已经被作者于2006-12-30 21:01:32编辑过]

乌木

不对吧，阳光兄3楼说的图案整体180旋转后，再依次把1当35，2当34，……34当2，35当1。和6楼的常规排列一样嘛（见下面示意图）。我的意思是，3楼的排法没解答1楼的问题。难道1楼的情况打乱后重新排成3楼的方式（空格留于左上方）就有解了？如果说1楼的棋子属于错装，如此错装的棋子按照3楼排法就不错装了？如果真的这样，那倒是我没想到的。奥妙何在？

比如：
X  1  2  3  4  5
……………
……………
……………
……………
30 31 32 33 34 35     3楼排法

180°旋转并依倒序改编号后：
1  2  3  4  5  6
……………
……………
……………
……………
31 32 33 34 35 X      常规排法

[此贴子已经被作者于2006-12-30 20:43:51编辑过]

阳光

本人在此声明：5楼的言论是错的

              3楼的言论是对的

              5楼的方法适用于奇数阶

              3楼的方法适用于偶数阶

              1楼的情况当属于偶数阶

              楼主不妨试一下3楼的方法，把空格设在原空格的对角线另一边，一定可以使35个数字按顺序排列，34，35也会回到正确位置，34在前，35在后，1到35都是常规的左到右递增。

还有，四楼的疑问可以回答

     四楼问该如何交换 2和1，之所以会出现这个问题，那时因为您仍把空格留在图片的右下角，这么做无论怎么排都会有两个数字是颠倒的，在一楼的图片中，如果空格留在图片的左上方，1和2  自然会更正过来。（当然我说的右下角只是相对一楼的图片而言，棋盘旋转180度的话就是左上角。） 这时你再把1当成35，2当成34等，最后还是3楼的情况。 

 现在回答8楼的疑问

奥妙何在，奥妙就在于

  一楼的空格相对于图片来说是 图片中的右下角

而8楼所描绘的：

180°旋转并依倒序改编号后：
1  2  3  4  5  6
……………
……………
……………
……………
31 32 33 34 35 X      常规排法
这其中的空格相对于图片来说其实是图片中的左上角，只不过被您旋转了180度才会在右下角，但相对于图片来说它仍是图片的左上角。

  把空格留在图片的右下角和把空格留在图片的左上角

这是图片的两种不同情况，会得到两种不同的结果，前者会使34，35颠倒，后者却不会，

不小心把两种情况和结果混为一谈自然会 产生矛盾。

你不能用一个颠倒图片和一个没颠倒的图片比较，把最后那个图 旋转的180度 旋回来，空格 便 变回左上角，这时移动棋子把左上角堵上，右下角空出来，从大到小排列，排列完后，会发现1与2颠倒了，1在前而2在后。然后再依倒序改编 回来，不就是一楼的图片么，34与35颠倒了．

其实着两个图形并不矛盾，因为一个是正的，一个是倒的．

总结一下

（１）棋盘（即一楼图片）不旋转，解的情况是

X  1  2  3  4  5
……………
……………
……………
……………
30 31 32 33 34 35

（２）棋盘（即一楼图片）旋转１８０度，解的情况是

1  2  3  4  5  6
……………
……………
……………
……………
31 32 33 34 35 X  

我们可以发现（１）和（２）中的空格其实是同一个位置，所以只有把空格留在这固定的位置上才会有解，所以严格的说来，解其实只有一个，是唯一的．

呵呵，不知各位是否同意我的总结．

乌木

果然如阳光兄和沈兄所说。

我为了使1楼中交换35和34，不得不采用重装手段，打乱再排就成功了（第一行1～6，……第六行31～35，右下角空，算是常规态A吧）。看了阳光兄的话，不相信，就实践一下－－不再重装，把A态打乱，排列结果为：左上角空，第一行为X21345，……第六行为30～35。这也是证明阳光兄的说法。

可见，同样一副棋子，排列花样不同，有的成功，有的不成功（如果这仅仅交换两个子是不可能的话）。

即
1  2  3  4  5  6
…………
…………
…………
…………
31 32 33 34 35 X  

可以转变为：
X  2  1  3  4   5
…………
…………
…………
…………
30 31 32 33 34 35   或者任意别的一对邻子错换位置。

也就是说，买到一副这种棋子，其“常规态”或许是左上角应空，或许是右下角应空。两者不相容。

原来是，不能仅仅看结果（什么180°、倒序重新编号等等），而与排列过程有关。具体的我也说不清，只是感到像发现新大陆似的。实在奥妙啊！谢谢两位！

[此贴子已经被作者于2006-12-31 11:50:46编辑过]