[原创]让人摸不着头绪的经典空间推理题

yilubbs

快毕业了，为了应付烦人的公务员能力倾向考试以及接踵而来的公司面试，经朋友推荐，选了一套浙江教育社最新出版的《智慧瑜伽》丛书来突击“能力”训练。没办法，能力嘛，不突击是没有能力的！别说，原来是准备把这些题目当作“题海战术”突击的，没想到做着做着竟然如了迷，真的非常有趣。方便起见，特地扫了几道题目与大家共享。不过还是提醒诸位网友：转载的时候要注明题目的出处，这也是对作者劳动的尊重。

下面这道题目选自：

《试试你有多聪明——测试逻辑推理能力的128道数学趣题》，浙江教育出版社

阳光

应该有几百吧，可否赐答案

乌木

1个平面－－两部分；2个平面－－4部分；3个平面－－8部分。到此是常见的情况。再下去，是否每增加一个平面，多4个部分？4×7＋8＝36。对吗？

阳光

假设这十个平面之间只有平行和垂直两种关系的话：

　　建立空间直角坐标系，x  y  z　三轴互相垂直，平面分三种，

(1)与x  y 轴平行的m 个平面

(2)与y  z 轴平行的n个平面

(3)与z  x 轴平行的t个平面

　m 个平面将空间分成m+1个部分

  n个平面将空间分成n+1个部分

  t个平面将空间分成t+1个部分

(1),(2),(3)这三种平面互相垂直，所以空间最后被分成S=（m+1）（n+1）（t+1）个部分

  m+n+t=10,显然Smax=(3+1)(3+1)(4+1)=80个

如果抛开最开始的假设的话，情况就复杂了，但分成的部分我想应该不会少于数百．

阳光

其实，如果一个平面和任何其他平面都不平行，并且和其他任何两个平面的相交线也不平行的话，这个平面就会和原来的每个部分相交（也许漏几个），这样的话应该是2*2*2＋７＋１１＋１６＋２２＋２９＋３７＋４７＝１７７个部分，不知这答案是否正确．

whitetiger

这个题目有标准经典解法的。

先看二维情况，也就是一个平面中的n条直线，最多把平面划分成多少部分？

解：

记n条直线最多把平面划分成f(n)个部分。

原始数值：f(0)=1；（也可以从f(1)=2开始）

递推公式：

平面中已有n-1条直线，那么新加一条直线，与原(n-1)条直线最多有n-1个交点，这(n-1)个交点把新增直线划分成n个部分，整个平面新增n个部分。

f(n)=f(n-1)+n（n∈Z+）。

最后的结果是f(n)=[n(n+1)/2]+1。

[此贴子已经被作者于2006-11-17 11:39:07编辑过]

whitetiger

再看三维的情况，计算方法类似。

解：

记n个平面最多把整个空间划分成g(n)个部分。

原始数值：g(0)=1；

递推公式：

整个空间中已有n-1个平面，那么新加一个平面，与原(n-1)个平面最多有(n-1)条交线。这(n-1)条交线最多把新增平面划分成f(n－1)=[n(n－1)/2]+1个部分，整个空间新增f(n－1)=[n(n－1)/2]+1个部分。

g(n)=g(n-1)+f(n-1)（n∈Z+）。

最后的结果是g(n)=[n(n+1)(n-1)/6]+n+1。

g(10)=176

[此贴子已经被作者于2006-11-17 11:40:16编辑过]

whitetiger

补充说明：

1、按道理，应该还有一个一维的结论：

n个点把一条直线分成(n+1)个部分。

在二维推论中用到了这个结论；三维推论中用到二维的结论。

2、我尽量准确表述，大家可以体会一下。

比如：

有的地方没有用“最多”。

里面用的“部分”在不同的地方含义是不同的。

乌木

噢，题目是问“最多……”，楼上的推导蛮抽象，我不懂。不过我3楼的答案是否可以算是“最少”可分为36部分（当作切西瓜那样）？

邱志红

7楼的推理非常精妙。极富有逻辑性，叹服！