[转] 1138户中选514户中出现14人连号，概率有多大？

oboe

专家核算：14连号概率约为1.4%
  1138户中选514户，514户中出现14人连号，这种现象出现的概率有多大？记者就此连线了华中科技大学概率统计系副主任王湘君。经半小时核算，王湘君说概率为1.4%。王湘君称，一般而言，摇号过程中出现低于0.5%的概率时则属于非常规性的。
[ http://news.sina.com.cn/c/2009-07-31/074118335641.shtml ]

一开始嘲笑专家水平不行，高中题目，居然花了30分钟。
结果自己一动手，发现其中果然有问题，30分钟不算冤枉。

我的思路是把14连号当成一个号。先算出1125中501的组合，再算出 1138中514的组合，然后除一下再乘以1125。
算的结果是3.367%。直觉上应该相信专家。不知道哪里错了。

superacid

你要考虑15连号的问题...

hexwing

水木的特快版也在讨论这个
http://www.newsmth.net/bbstcon.p ... ss&gid=11062084
要登录

hexwing

发信人: Emmons (:)), 信区: NewExpress
标  题: //14连号问题，水木终极版//
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 13:10:56 2009), 站内

【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: Emmons (:)), 信区: Mathematics
标  题: //14连号问题，水木终极版//
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 13:10:12 2009), 站内

问题背景：1138户中选514户，514户中出现14人连号，这种现象出现的概率有多大？记者就此连线了华中科技大学概率统计系副主任王湘君。
经半小时核算，王湘君说概率为1.4%。

理论计算版：

发信人: shift (负债累累), 信区: NewExpress
标  题: Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 09:31:02 2009), 站内

从n个数里面选m个,至少有k个连号的情况是:
(n-k+1)C(n-k,m-k)/C(n,m)
至少k+1个连号
(n-k)C(n-k-1,m-k-1)/C(n,m)
刚好k连号
上面式子相减


发信人: Xubuntu (温酒斩华佗), 信区: NewExpress
标  题: Re: 高人~~Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 10:00:29 2009), 站内

f[1138, 514, 14] = 0.0149948
f[1138, 514, 15] = 0.00666435


发信人: CTO (人民群众纷纷表示对生活影响不大), 信区: NewExpress
标  题: Re: 高人~~Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 12:56:45 2009), 站内

我算的结果：
f[1138, 514, 14]-f[1138, 514, 15]=0.833%


发信人: Cracker (rock), 信区: Mathematics
标  题: Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君 (转载)
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 13:01:45 2009), 站内

如此估算比较繁琐了，可简单计算
从n个连续数字中选择m个出现k个及以上连号概率为
(n-k+1)*nchoosek(n-k,m-k)/nchoosek(n,m)
出现k+1个及以上连号概率类似计算
故知恰好出现k连号概率为
0.015-0.0067=0.0083


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计算机仿真版：

发信人: rainarch (尘纹), 信区: NewExpress
标  题: Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 10:20:47 2009), 站内

我算不出来，用程序模拟一下，具体如下：
0. 每次用随机数对1138选514
1. 每回合摇号摇100,000次，统计出现14连号以上，也就是包含14+的次数。
2. 总共3回合。
结果如下
       14+次数
回合1：815
回合2：841
回合3：811
合计+:2467
也就是说命中率 0.82%
这个不是完全意义上的统计概率。



发信人: LouisaSquare (苏玉华), 信区: Mathematics
标  题: Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君 (转载)
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 12:01:18 2009), 站内

估算还是可以的。
定义事件 Ei = {选中的514个数中含有i，i+1，....,i+13}, i=1,2,...,1125
如此|Ei|=nchoosek(1138-14,514-14)，
=>|E1|+|E2|+...+|E1125|=1125*nchoosek(1138-14,514-14).

这样数显然有重复，比如1，2，3,....514这种组合就属于每个Ei，在上面的计数中被数了（1138-13）遍.
但无论如何，这个估计是个上界，即所计算的概率p满足
p<1125*nchoosek(1138-14,514-14)/nchoosek(1138,514)=0.0150.

下届的估计似乎不容易。我得到的一个下界是0.0054。但是计算已经很繁琐了（虽然想法不复杂），就不写过程了。
所以0.54%<p<1.5%

我用Monte Carlo抽样了999999次，得到的结果是p = 0.821%


发信人: LouisaSquare (苏玉华), 信区: Mathematics
标  题: Re: 华中科技大学概率统计系副主任王湘君 (转载)
发信站: 水木社区 (Fri Jul 31 12:41:34 2009), 站内

刚刚又用更繁复的办法改进了上下界
0.79%<p<0.83%

结合蒙特卡罗的结果，如果只精确到两位小数的化p应该就是0.82%

Osullivan

我去学校找找那个主任问问这么算的～～～～～～～

lulijie

4楼提到的
从n个数里面选m个,至少有k个连号的情况是:
         (n-k+1)C(n-k,m-k)/C(n,m)
这个公式是错误的，中间有很多情况重复计算。实际的概率比它小。
套用人家的计算结果  f[1138, 514, 14] = 0.0149948      我没有验证这个结果。
那么本贴的正确概率（至少14连号）应该小于0.0149948。
那个专家说是1.4%，大概就是这么估计的吧。
具体的精确概率计算应该比较复杂，如何避免重复计算是关键。
不但要考虑15连号、16连号等情况，还要考虑2个14连号、3个14连号等情况。

lulijie

设  f(n, m, k) 表示从1到n 共n个数中取m个数，至多有k连号的所有可能数。
那么有以下递推公式
    1.  m<k 时    f(n, m, k)= f(n, m, m) = c(n,m)                c(n,m)  表示从n个中取m个的组合数
    2.  m=0        f(n, m, k)=1
    3.  f(n, m, k) =∑  ∑  f(n - i - j, m - j, k)           ( i=1 to n-m+1 ， j=1 to k)
               f(n - i - j, m - j, k) 表示从最小开始计算，第一个被取的数是i，与i相连的数有j个的可能性。

那么从1到1138中取514个数   有14连号且没有15连号的概率=[  f(1138,514,14)-f(1138,514,13)  ] / c(1138,514)
                                                 14连号及以上的概率为=1 -  f(1138,514,13) / c(1138,514)
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利用递推公式，编程计算获得        （运行时间花费13.5分钟。）
从1到1138中取514个数：
   有14连号且没有15连号的概率为
            0.0460223294562318
  14连号及以上的概率为
            0.0830260841850428    (约为8.3%)
以上结果应该至少有5个有效数字是正确的。
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有人电脑模拟得出的8.2%的概率已经基本正确了。

Cielo

哈哈各大bbs都有讨论啊