我的一个猜想

sail

能否过已知两点、切已知直线，用尺规作图法作一个圆。
如果能，请写出做法并作图。
如果不能，请给出证明。

如图所示：

jjj_jecmy

肯定能，但我只是小学生，不会~~~期待高手~~沙发~~

sail

可惜我问了老师，问了很多尖子，他们都没能解出来（高中）

lernem

肯定是可以的 只要知道圆心和半径就能了

lulijie

建立坐标系，坐标  A(0,a)，B(h,b)， b>a。
假设所求的圆的圆心为O(x,y)。
那么  AB的垂直平分线方程 ： x^2+(y-a)^2=(x-h)^2+(y-b)^2  即  2hx+2(b-a)y=h^2+b^2-a^2
         O点到给定直线的距离等于OA：y^2=x^2+(y-a)^2   即   x^2-2ay+a^2=0
联立上述两式，解得x=sqr(ba) * sqr(h^2+(b-a)^2)) /(b-a)  -   h*a/(b-a)        sqr()为开根号。
   sqr(h^2+(b-a)^2))  就是AB的长度。
   h*a/(b-a) 可以尺规作出，
    所以只要能过尺规作出x长度的线段，那么从坐标原点，往横轴方向量出x长度的线段，截出p点，再以p点作横轴的垂线与AB的垂直平分线相交，交点就是所求的圆心。
而要作出x长度的线段，就必须作出根号(a*b）长度的线段，只要做出了该长度的线段，x长度的线段就非常容易完成。
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所以本题能否尺规作图就等价于，已知a、b长度的线段，能否尺规作图作出m长度的线段，使得a:m=m:b。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-7-15 14:05 编辑 ]

lulijie

m=根号(a*b)

用以上方法就可以尺规作出m长度的线段。
所以本题目能够尺规作出。

Cielo

楼上正确！

联结两点并延长，与已知直线交于O点，利用切割线定理，只需要作出切线长即可。

而这个长度利用勾股定理很容易作出来。

q376997368

弱弱地问下，如果要用直角坐标系或者什么未知数那还叫尺规作图吗？
这挑剔应该可以转变为在平面上找一点，使得这一点到已知两点及直线距离相等

Cielo

原帖由 q376997368 于 2009-7-15 16:21 发表
弱弱地问下，如果要用直角坐标系或者什么未知数那还叫尺规作图吗？
这挑剔应该可以转变为在平面上找一点，使得这一点到已知两点及直线距离相等

那些只是思考过程，具体操作都是可以用尺规完成的！

sail

尺规作图即用无刻度的尺子和圆规进行作图，因此不具备度量功能。