[原创]N阶正方体色子阵魔方循环公式原理论证：第一版

pengw

忍冬
--------------------------------
对象
本文限以N阶正六面体色子阵魔方为讨论对象  
术语
状态：部分或全部块及其位置与色向的集合。块，块的色向，块的位置是状态的三要素。
魔方状态：魔方全部块的状态的集合，在此用S加一后缀表示
子集状态：魔方部分块的状态的集合，在此用B加一后缀表示
相似变换：设有公式F和f，f'是f的逆，F'=f'+F+f,则将F不变的所有F'互称关于F的相似变换，简称相似变换
循环公式：将步长（90度转为一步）N>1的公式F截为二段f1,f2.F=f1+f2,F'=f2+f1，将N-1个F'与F构成的公式组称为循环公式。

目标
证明循环公式组的公式互为相似变换；从状态分析角度，描述循环公式变换原理
证明
设：F=f1+f2，f1'是f1的逆，F'=f2+f1
      则：F'=f2+f1= f1'+( f1+f2)+f1= f1'+F+f1,依据相似变换的定义，F'与F是相似变换
推论
1.循环公式组的公式有相同的公式循环周期
2.如果F变换前的状态与变换后的状态相同，则F'变换前的状态与变换后的状态相同
原理
1． n>=0,Bn代表魔方块一个子集的状态。S0代表复原状态，x(y)代表公式x对当前魔方状态y的一次变换。'->'表示子集状态变换，子集状态变换前和变换后的块一样
2． 设有步长大于1的公式F，将公式F截为二段:f1和f2,F=f1+f2,F’=f2+f1
3． F（S0）=BO,F'(S0)=BE,BO和BE是非基态块的集合
4． 设B1是B11和BO对应的基态块集，B2是B22对应的基态块集，B1与B2没有共享块
5． f1(S0):B1—>B11
6． f1(S0):B2—>B22,B22是非基态块的集合
7． f2(f1(S0)):B22->B2，B2是基态块集，因而f1与f2对B22位的块的状态变换互逆
8． f2(f1(S0)):B11->BO，B11的块变换到B1位，因BO是非基态块集合，因而f1与f2对B11位的块的状态变换非互逆
9． 设S0上B11位的块的状态是B3
10． 设S0上B22位的块的状态B4
11． f2(S0)：B3->B33，因第8步f2的B11->BO效应，B33的块全部在B1位上
12． f2(S0)：B4->B44，从第7步可知，f2相当于f1的逆操作变换B4为B44
13． f1(f2(s0))：B44->B4,f1抵消第12步上f2的操作，B44中的块全部恢复基态
14． f1(f2(s0))：B33->BE，因第5步f1的B1->B11效应，B33位于B1位的块变换到B3位，由第8步可知，f1与f2对B3位的块的状态变换不是互逆，因而BE是非基态块集
结论
从上面的证明和原理分析可知，对任何公式而言，其循环公式组内的公式互为相似变换，这是一般公式具有的晋适属性，是相互制约的变换与逆变换交互作用的结果，与公式的转置、共扼、镜像、序列、长短没有逻辑上的必然关系。任何公式的循环公式组只是该公式的相似变换公式的子集，任何一组相似变换公式都不可能襄括所有魔方状态，因此循环公式在探讨最短步数方面并不具有优越感，循环公式仅仅预言了自身是一组等长的相似变换公式。
说明
从相似变换的角度描述循环公式是如此地简单，令作者企图从循环公式挖掘最小步数秘密的梦想落空。循环公式与相似变换等价这一事实，对以往用循环公式探讨最小步数的努力实在是一个不妙的消息.
-------------
忍冬
2007.3.25

[此贴子已经被作者于2007-5-31 16:34:59编辑过]