3阶的一个状态

sokoban

如何证明不能出现以下状态，即只有一个边块反了。能不能很简单地证明这个事实？

乌木

三阶魔方的基本运动是一层9个块一起动，要么（例如）U，要么（例如）U'，要么（例如）U2。转夹层相当于转两个表层。这U、U'和U2为代表的三类动作（再没有别的类型的动作了！！！），每一动作涉及变化的棱块数总是偶数4，涉及变化的角块数也是偶数4。人们简单地拧几下魔方，马上可以证明这一道理。任何花样，包括任何块的色向变化，以及任何块的位置变化，无一不是经过若干个基本动作达到的。

所谓公式，有的只是巧妙地把有关的一系列动作中所发生的、在许多别的块上的许多变化“简并”为“无变化”，同时“压缩”得仅留下最少的块保持某种规律的变化。以棱的色向改变为例，公式（M，U）2，M，U2，（M'，U）2，M'，U2 ，使两个棱就地翻色。

上述“留下最少的块保持变化”，对于那两棱翻色公式来说，只能少到两块，不能少到一块。也没有别的翻棱公式可以单单翻一个棱。这是否与“每一基本动作中棱的变化数总是4”这个事实密切有关？我说不清楚。

所以，凡有什么离开复原态的新花样，涉及变化的棱块或角块就不可能是单独一个。有的公式使三个块轮换，那也等价于两个两交换发生在三个块上的综合结果。

要说明为何不能单单交换两个棱、单单交换两个角、单单一个角转一次色向（单单两个角同方向各转一次相当于单单一个角转一次色向）、单单一个中心块转90°等等别的现象，我就更说不好了，大家补充。

[此贴子已经被作者于2007-10-6 10:57:42编辑过]

乌木

比如下图，翻好顶层一个角后，为了使中层的三个棱复原，最简捷的办法看来就是再做一次（R,E）4；同时又要保留顶层的第一个翻好色的棱，最简捷的办法好像就是转一下顶层后，再做第二次（R,E）4。这么一来，岂不是最后至少两个棱翻色？

       

pengw

最直接的证明就是这种状态不能复原,以前曾发个一个用公式来证明的贴子,找不到了,你可能试着找找

[此贴子已经被作者于2007-10-6 10:58:10编辑过]

乌木

QUOTE:

以下是引用pengw在2007-10-6 10:57:16的发言：

最直接的证明就是这种状态不能复原,以前曾发个一个用公式来证明的贴子,找不到了,你可能试着找找

对，应该从理论上来证明。

至于“最直接的证明就是这种状态不能复原”，此言易生歧义。最好说成“最直接的证明就是，用任一复原套路都不能复原这种状态”。

乌木

楼主的题目，尤其是要“很简单地证明”，确实不容易。

题目涉及棱的色向问题。要翻转一个棱的色向，无非动用魔方的基本动作。每一基本动作对魔方棱的色向的影响是不一样的。姑且把夹层转动也算作基本动作，或叫次生动作。

魔方的上下色面（人为规定）是高级色面，前后色面是中级色面，左右色面是低级色面。由此，任一棱在任一棱位都有正色向或反色向之别。

再以3楼的公式（R,E）4，U'，（R,E）4，U为例，凡是R之后所涉及的右层的四个棱色向都不变（指正仍正，反仍反）；凡是E之后所涉及的水平中层的四个棱色向都变更（指正变反，反变正）。就这样，随着公式的进行，所有涉及的棱的色向变化的进程和最后的综合结果就如3楼的java图所示，可以逐步逐步考查的。

别的动作也都有其四棱色向变化规律，故别的翻棱公式也可作类似考查。魔方的任一复原套路都无法更改单独一个棱的色向。

至此，我的叙述还不能算证明。不懂有关数学。

pengw

用棱块色向和为零这个法则可以反证上楼的命题,依据我定义的棱块色向参照系:

1.上层和下层任意转动不改层中棱块的色向

2.四个侧层，任意90度转动，都会改变层中棱块的色向，但该层中棱块的色向改变和为零，即有几块变“正”就有几块变负

3.以上二条包括了所有转动可能，因此，棱块总体色向和为零，不可能出现楼主那种色向和不为零的状态

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证毕，同理可以证明角块。本质上，这是一个色向和为零的证明过程，在N阶定律中被省略了，其实很简单，无须高深的数学

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注意：一定要参照色向参照系去理解

[此贴子已经被作者于2007-10-6 12:30:57编辑过]

pengw

谁能证明三置换的原理？

乌木

7楼说：“……注意：一定要参照色向参照系去理解”,很要紧。

而6楼的叙述，则是又一种色向定义法（同盲拧法的定义），故某一动作引起的有关四棱的色向变化，结论和7楼的说法不完全相同。也可类似7楼的“色向和”办法来叙述：任何魔方态的任一棱块色向正确的表示为代码0，不正确的为代码1。任一魔方态的12个棱的色向代码的总和一定是偶数，例如0100 1100 0111，12个代码之和为6。所以，楼主给出的状态，12个棱的色向代码为0000 0000 0100,总和为1，所以该棱态是不存在的。

thief

有这个必要吗```？