美国比赛题目2

yinjiaqiu

叫一个数字 A-Bsqrt(2), A和B 都是正整数 "微数" 如果他比任何数字 C-Dsqrt(2) [C和B是正整数] 接近零( 0 ) ,C小于A, D小于B. 这3个数字是"微数" 1-sqrt2, 3-2sqrt2, 7-5sqrt2. 在不能用计算机的情况下, 证明 以下2个数字是否是"微数"

(a) 58- 41sqrt2

(b) 99- 70 sqrt2

Joseph

按照微数的定义，对于任何满足C<A，D<B的正整数，必然得到|A-B√2|<|C-D√2|。又因为必然有A+B√2>C+D√2>0，如果|A²-2B²|≤|C²-2D²|，则必然可以推出|A-B√2|<|C-D√2|。 首先计算一下A²-2B²，58²-2×41²=2，99²-2×70²=1，可以肯定99-70√2是微数（因为对于任何正整数x、y，x²-2y²都不可能为0），而对于58-41√2需要进一步判断。

[此贴子已经被作者于2004-11-18 17:17:34编辑过]

Joseph

对于58-41√2，由上面的讨论知道，只需要判断所有满足C<58，D<41，C²-2D²=1和C²-2D²=-1的正整数C、D，看是否都满足58-41√2<C-D√2。 由Pell方程的解法知道Pell方程x²-2y²=1的全部正整数解是x+y√2=(3+2√2)ⁿ，n是正整数；Pell方程x²-2y²=-1的全部正整数解是x+y√2=(1+√2)^2n-1，n是正整数。 因此，满足C<58，D<41，C²-2D²=1的正整数C、D只有两组：C=3，D=2；C=17，D=12。满足C<58，D<41，C²-2D²=-1的正整数C、D只有三组：C=1，D=1；C=7，D=5；C=41，D=29。但|41-29√2|<|58-41√2|，所以58-41√2不是微数。

[此贴子已经被作者于2004-11-18 17:57:57编辑过]

whitetiger

按照我的习惯，前者需要证明是“微数”，后者只给出最后的反例。

3楼是找反例的一个方法，我一般是不写的。

（解题固然是干净许多，但是如果让老师阅卷的话，被扣分的可能性还是有的。[em04]）