【解集】共点三射线三等分正方形

migl

已知：
如图，正方形ABCD的边长为1，正方形的中心点O位于坐标系原点，三条射线PE、PF和PG互成120度。
又射线PE、PF和PG将正方形ABCD分割成三份1、2和3。
三份的面积为S1、S2和S3。

求：
所有满足S1=S2=S3的点P的解集。

migl

注：
三条射线互成120度，但方向不是固定的，即三条射线可“以点P为中心”整体旋转。


目前只能凭空想像到两种类型的解，每种四个解，合计八个解。
不知道解集会是什么样的“图形”？

migl

稍稍计算一下：（ 希望没算错 ）
类型1：
(1/2)*a+(1/2)*(1/2)*(1/(2(√3))) = 1/3
a = (2/3)-(1/4)*tg30° ≈ 0.522329
类型2 ：
(1/2)*a*a+(1/2)*a*a*tg15° = (1/2)*(1/3)
a*a = (1/3)/(1+tg15°) ≈ 0.262892
a ≈ 0.512730

取八个点中的三个
(0,0.022329)
(0.012730,0.012730)
(0.022329,0)
得到部分示意图：


介于直线与圆之间，尚无法推测出具体“图形”。
不知道 是直接计算能三等分面积的点P方便，还是计算不能三等分面积的点P方便？

[ 本帖最后由 migl 于 2010-3-23 16:59 编辑 ]

陆飞

想问楼主，这是现在高中题吗？

魔方世家008

好难的题啊！！！


ORZ you

gb57

你可以试试F坐标(a,0.5),E坐标(0.5,b) ,然后所有点的坐标都可以用a和b表示，每个图形面积也可以用a和b表示，并且都=1/3
这样你就求出a和b的关系了，然后就能找到P点横纵坐标的关系，试试吧

lulijie

由于P点在坐标4个象限内是对称的，只要研究一个象限的情况即可，就以版主的图为例。
设PG与Y轴的夹角为θ，P距两个坐标轴的距离为x、y，那么    （ x、y>=0）
PGDE的面积=xy-1/2*x*x*tan(θ-30°)+1/2*y*y*tan(θ)=1/3
PEAF的面积=(1-y)*x+1/2*x*x*tan(θ-30°)+1/2*(1-y)*(1-y)*tan(60°-θ)=1/3
联立两式，消去θ，就可得到曲线方程。
但是消去θ还是有难度的。

tm__xk

我弄出了一个五次曲线....不干了....回头输电脑看看....

migl

原帖由 陆飞 于 2010-3-23 17:03 发表
想问楼主，这是现在高中题吗？

觉得有能力的都可以来尝试，欢迎各种解法。
也许用高中的思路就能解题了。


不过话说回来，光是计算某给定的点P是否有符合题意的射线角度就已经是很大的工作量了。

陆飞

没有，我以为高中的题呢~

都无从下手~
好久没做数学题了~