也谈“魔方态关系网”

大烟头

乌木“魔方态关系网”文章贴子多篇，我不知要在哪篇里跟贴，只好另开一贴了。

以下是引用乌木在2005-5-18 22:36:45的发言：

魔方态关系网

有一假想魔方，其基本性质同普通3×3×3魔方。若其花样（态）仅两个态，则其态态关系网结构为“两点一线”。点代表态，线代表态变之（可逆）操作。一线一操作；一操作即得另一态。（啊，“单刀单掷”开关也是如此！）

若共有三个态，则必定是三角形结构，不可能是L形。因为基本性质之“态态平等”表明，不可能有的态有两条路（操作）走，有的仅一条路。

若共有四个态，各态仅有两条路，则得正方形网；各态有三条路，则再添加两条对角线；但也可为四面体结构！（且勿论后两者在拓扑学上是一样的。）

……

继续下去就要问，以3阶魔方来说，其千千万万（N）种态之间的关系网是什么样的呢？

六面“复原”态的特殊地位，在某种程度上是人为施加的！抛开其特殊性想想，它和所有的态平等（所以我想出“广义复原”玩法）！网的结构也受人为影响，例如上述四态（各三路）网有两种结构。还与一个态有几路（或理解为有几个直接邻居）有关，例如上述有无对角线的两种正方形网。（还与什么因素有关，请各位补正。）

如果把N个“态点”布置于一圆球面，N虽大，该球却非常小，其大圆周长只不过44-46(步)（据“最远走22-23步”说法；这是对3阶而言的吧？）。不怕挤！几何上说一个面含无数个点。

　　细读以上文章，我来说说自已的体会：乌木先生把魔方N个“态点”布置于一圆球面的说法很有建设性，从此为魔方态点模型打下了基础。我与G老师都曾把魔方所有的态点设想是整个球体，这设想明显是错误的。我觉得建立魔方态点模型，首先要抛开初始状态、最终状态，我觉得任一态点与其周围态点公布的关系都是一样的。如一个打乱状态的魔方，你把魔方上的颜色撕了重贴成初始状态的魔方，魔方的本质没变。这样就可肯定：如魔方N个“态点”布置于一圆球面上，这些球面上的态点是均匀分布的。假设这圆球很大，你站在球上的任一态点上看风景，每个态点的风景都是一模一样的。

　　我觉得球面上分布的态点间，距离短不一定步长小，如图

态点C到态点B距离比态点C到态点A距离短，但态点C到态点B的步长是2，面态点C到态点A的步长为1。这就让我想到物理学的量子的物理特性了。

　　我觉魔方态点模型的难点在于：如何解决同态的问题。难啊！

[此贴子已经被作者于2005-5-28 20:37:24编辑过]

大烟头

呵，说不定这最远状态的最少步的魔方难道，要用几何学来解决，而不是用群论[em05]

ggglgq

循环变换球面网

我想，几何学也好，群论也罢，它们并不矛盾的！“循环变换球面网”
不是已经把它们连接成“一体”了嘛！强调一点，群论是不可或缺的要素。

呵呵，刚好烟头兄弟可以借此机会给咱们研究一下“循环变换关系网”、
“广义循环变换关系网”、“算子循环变换关系网”等等，以及它们的异同
并绘制它们的图形样本，这对大家的“各种网”都有帮助！我初步考虑可以
这样绘制：

1.循环变换：圆（正三角、正方形等等都是“圆”）

2.广义循环变换：封闭的不规则图形

3. N 阶（即周期为 N ）算子循环变换： N 个全等花瓣连成的封闭图形

ggglgq

呵呵，有关“循环变换”的东东，能否到我的相应理论帖子中发表一下呢？[em07]

乌木

丁兄说得对。我就是一例。我的“魔方态关系网”即如此，甚至一而再，再而三。最后大树轰然而倒，地球差点儿被搞得偏心出轨。一看那2×2平魔小小小网之架势，我再也不能做睁眼瞎自投罗网了。

我以上话是在丁编辑之前说的。对楼上丁后来加的话，何意思，啥味道，本人还得琢磨琢磨，别闹误会才好。

[此贴子已经被作者于2005-5-30 21:29:15编辑过]

大烟头

以下是引用乌木在2005-5-29 14:53:04的发言：
丁兄说得对。我就是一例。我的“魔方态关系网”即如此，甚至一而再，再而三。最后大树轰然而倒，地球差点儿被搞得偏心出轨。一看那2×2平魔小小小网之架势，我再也不能做睁眼瞎自投罗网了。

乌木兄是被大树生出来的同态吓倒了吧，其实想简单一点就行了。如果没有同态，就不可能出现大大小小的各种循环变化了。三阶的总状态数（即总态点）为：43,252,003,274,489,856,000 即 4.33x10¹⁹，魔方基本性质也如乌木兄所说的是“态态平等”，要做这魔方态点模型也只能在一个球面上完成，由基本性质之“态态平等”，可导出球面上的态点是均匀分布的，因此三阶的态点模型里4.33x10¹⁹个态点是均匀分布在一个球面上的，这也算是研究的一大成果了！

ggglgq

  
    完全支持烟头兄弟的说法。请乌木先生莫怕，有我们大家支持你，请继续您的理论！

    不过，请大家注意，这个“循环变换球面网”的球面可能不是“三维空间的球面网”，而是
“高维空间的球面网”！

乌木

好的，好的。我是不求甚解，有所乐趣即可。
此外，若是高维结构，也得尽量投影到三维来呀，我们可都是三维动物噢。当然，不是都能投影的，好多只能用数学语言描述。那样，我是只好拜拜了。（据说宇宙本来是十维的，大爆炸只出来了四维，其余处于压缩态云云，人家可是正经说的，不是山海经。）

pengw

<P>三阶魔方分别从初态得到六个状态：UU，DD，LL，RR，FF，BB 。请从初态出发，访问这六个状态一次，中间不得经过其它状态，最后回到初态。这是一个检验循环变换（本质上是相似变换）的最好实例。如果觉得难了，也可以将六个状态换成更简单的：U，D，L，R，F，B，再试试。这六个状态距初态都一样远，前一个只有2步，后一个只有1步。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>&nbsp;本人虽然不懂造飞机，但是，要求别人造的飞机飞上天试试，这不过份吧。这种证明谁都懂，甚至不认字的人。还好，在魔方上做测试比试射导弹便宜多了，不要跟我说钱不够，哈哈哈。 </P>
<P>-------------- </P>
<P>如果有答案，请用三阶的公式给出 </P>
<P>如果认为题错了，请说明理由，给予更正</P>
<P>&nbsp;------------- </P>
<P>废话少说，是驴子是马一溜便知。 [ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-9 09:32 编辑 ]</P>

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-9 09:41 编辑 ]