首位数为1的自然数的概率。

邱志红

我们现在正在学习概率，我在一本书上看到了这个问题，感觉有争论价值。就贴出来

问题：首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是多少？

问题不简单哦，请冷静思考，再作回答。

[em05][em05][em05][em05]

乌木

1～9：1/9＝0.1111111……
10～19：11/19＝0.5789……
20～99：11/99＝0.111111……
100～199：111/199＝0.5577889……
200～999：111/999＝0.11111……
1000～1999：1111/1999＝0.555777888……
2000～9999：1111/9999＝0.11111……
10000～19999：11111/19999＝0.555577778……
20000～99999：11111/99999＝0.1111111……
100000～199999：111111/199999＝0.555557777……
…………

好像呈有规律的摆动下降，“0.11111……”和“0.555555555……7777777……8888888……”，真可谓“还有完没完”？对邱兄的问题如何回答为好？

邱志红

不错，其实给一个确切的定值是不可能的。

但可以通过合理的平均得到一个统计值。

你可以用同样的方法计算一下，首位数为2的，为3……为9的自然数。

你就会发现其实它们出现的概率是不一样的，首1的可能性最大，首9的可能性最小。并不是大家第一感觉中的都占1/9。

其实这才我真正想说明的。

乌木先生的分析方法是相当正确，相当理性的。

drink

要从整体上思考,不要从局部去看这题

乌木

2楼是从一系列“关节点”看那概率的变化，若逐个看n，概率值P依次为：1/1＝1，1/2＝0.5，1/3＝0.333……，1/4＝0.25，1/5＝0.2，1/6＝0.1666……，1/7＝0.1428……，1/8＝0.125，1/9＝0.111……，到n＝10时，P＝2/10＝0.2，接着依次为：3/11＝0.272727……，4/12＝0.333……，5/13＝0.3846……，6/14＝0.4285……，7/15＝0.4666……，8/16＝0.5，9/17＝0.5294……，10/18＝0.5555……，11/19＝0.5789……，接着依次又下降：到n＝20时，P＝11/20＝0.55，后面是：11/21，11/22，11/23，11/24，……，n＝99时，P＝11/99＝0.1111……， 等等。

如此这般下去，该如何取“平均”？总体数目为无穷大；各个P值在求均值时的“权重”该赋于多少？我是只感到“不可思议”了。如果事先给定某个确定值N，然后问1～N中什么什么的概率（实为“含量”）为多少，则这样的问题又毫无意思了。总之，邱兄的问题很奥妙！

[此贴子已经被作者于2006-3-22 15:36:11编辑过]

乌木

我再想想，总体数目为无穷大，其中某一特征成员的数目，尽管也是无穷大，但后者比之前者，应属“小巫见大巫”，好像叫“次级无穷大”什么的？不论其概率是不是确切的定数，都不能用常规的取平均值的方法来求的吧？我5楼最后一段话好像还未“脱俗”。

此外，我还把概率理解为某一事物可能性大小的预报。这样，有关的总体和局部，他们的数目是否无穷大，好像不是妨碍分析的因素（？）1楼邱兄给的问题“首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是多少？”是否可以理解为：如果随机地取一个自然数，它的首位数字为1的概率是多少？（当然取的次数要足够大量，才能体现预报的概率值，这是另一回事。）有点摇奖的味道。尽管没限定所取数的位数，就是说也是随机的，但实际做起来，例如用随机数发生器，位数总是有限的，这就不大对了。所以，此题还得分析解决。

[此贴子已经被作者于2006-3-22 15:34:25编辑过]

大烟头

个位数是1/9

十位数也是1/9

百位数还是1/9

。。。。。。。。。。。

总结：首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是1/9

[em01]

乌木

烟兄说的一位数、二位数、三位数……都是1/9，所以首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是1/9。这应该就是drink兄说的整体看吧。不过，我6楼改题后说的“如果随机地取一个自然数，它的首位数字为1的概率是多少？”看来还是不等于1/9，因为这些首位数字为1的自然数不是均匀分布的，“摇奖”之前该如何“预报”呢？除非设想把所有的自然数打乱、混匀，再随机抽取一个。问题是它们有无穷多个呀，怎么打乱法？总之，好像“1/9”这个值不像什么“概率”，只不过是“总含量”之类的概念。我说不清楚。

[此贴子已经被作者于2006-3-22 15:43:59编辑过]

邱志红

现在来揭底了，下面就是该问题出现的历史缘由。

天文学家在进行天文计算时，经常要使用对效表。本世纪韧，有一次天文学家西蒙·纽科姆在查对数表时，偶然发现了这样的现象：对数表开始的几页总要比后面几页磨损得厉害。这说明人们在查对数表时，较多地是使用了以１为首的那几页。于是，纽科姆便产生这样一个疑问：首位数是１的自然数在全体自然数中占有多大的比例？它是不是要比首位数是其它数字的自然效要多？人们后来就把这个问题称为“首位数问题”。

邱志红

下面就是该问题的分析过程及研究结果。

大家可能会认为这个问题是显而易见的。因为除０以外，共有九个数字：１，２，３，４，５，６，７，８，９，用其中任何一个数字开头的自然数，在全体自然数中的分布是均匀的，机会应该是均等的。这就是说，首位数为１的自然数应该占全体自然数的１／９。可是，事实并不这么简单。１９７４年，现在是美国斯坦福大学统计学家的珀西·迪亚科尼斯（当时还在哈佛大学做研究生），研究了这个问题，所得到的结论出乎人们的意料：首位数是１的自然数约占全体自然数的１／３。准确一点说，这个数值应该是ｌｇ２约为０．３０１０３。这是怎么一回事呢？

　　事实上，用不同数字做首位数字，这样的自然数的分布并不是很均匀的，也不是很规则的。首位数是１的自然数的分布规律是；

　　Ｉ到９之间，这样的数只有１个，它就是１，所以占１／９；

　　Ｉ到２０之间，这样的数有１１个，它们是１，１０，１１……，１９，所以约占１／２，

　　１到３０之间，这样的数同样有１１个，约占１／３，

　　１到１００之间．这样的数仍然只有］１个，约占１／９，

　　ｌ到２００之间，这样的数有１１１个，它们是１，１０，１１，…，１９，１００，１０１，…，１９９，约占１／２。

　　注意到首位数是１的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值，总是在１／２与１／９之间来回振荡。于是，迪亚科尼斯经过研究，终于运用高等数学的方法，得出这些比值的合理平均值，它就是上面所讲到的ｌｇ２。．