关于3阶魔方的组合

loink

就是众所周之的4.3x10^19
在http://www.changhai.org/articles/science/mathematics/rubikcube.php
这篇文章的注释2中看到了这个数字的具体计算过程
即

• 具体的计算是这样的： 在组成魔方的小立方体中， 有 8 个是顶点， 它们之间有 8! 种置换； 这些顶点每个有 3 种颜色， 在朝向上有 37 种组合 (由于结构所限， 魔方的顶点只有 7 个能有独立朝向)。 类似的， 魔方有 12 个小立方体是边， 它们之间有 12!/2 种置换 (之所以除以 2， 是因为魔方的顶点一旦确定， 边的置换就只有一半是可能的)； 这些边每个有两种颜色， 在朝向上有 211 种组合 (由于结构所限， 魔方的边只有 11 个能有独立朝向)。 因此， 魔方的颜色组合总数为 8!×37×12!×211/2 = 43252003274489856000， 即大约 4325 亿亿。

对于其中的红字部分在下不能理解。希望有人能解答一下。
本人自昨晚起开始接触最少步还原，此前只接触过速拧。。
见识浅陋,见笑了

[ 本帖最后由 loink 于 2009-8-10 10:08 编辑 ]

lernem

就是说 由于三阶魔方的六轴结构 八个角中的七个如果已经还原 那么最后一个角不用看 也一定已经是还原状态了 棱块也一样 这是我的理解

今夜微凉

也就是说，角块7个可以任意朝向，当七个朝向选定后，剩下的一个就只剩一种可能了，同理，11个棱也一样~

乌木

这个4.3×10^19的结果有些重要前提——三阶纯色魔方（即中心块的方向变化看不出，也就不计中心块自转的变化）；只用转魔方的方法（即，不是拆了魔方块再随机组装）改变魔方的状态；不同的状态是相对于中心块组不动而言的，即，变化不变化的参照物是中心块组。

这样，就有三个基本的不可能状态：1、不可能单单交换两个块（无论角块还是棱块）；2、不可能单单翻一个角块的色向；3、不可能单单翻一个棱块的色向。

这第一点对应于1楼提到的“/2”；第二点对应于把拆了再随机组装的角块色向变化数“3^8”修改为“3^7”；第三点对应于把拆了再随机组装的棱块色向变化数“2^12”修改为“2^11”。

至于为何有上述三点限制，我就说不清了，请看理论版块中邱志红等人的帖子。好像是由于基本的魔方变化－－每转一下魔方层90度总是发生一个角块的四轮换并棱块的四轮换（还有中心块的自转90度），这种偶数个块的循环决定了上述三点基本限制。

loink

虽然还是不能很好的理解 不过还是谢谢诸位解答了~

乌木

举个例子：8个角块，不动位置，用转魔方的方法改变各角块的色向的话，头7个角块每一个都可以有3种取向，这就使头7个角块色向引起的状态变化数为3^7。这一点你没异议吧。
这3^7个角块色向状态可以转换为三大类：1、只有一个要顺翻色；或者，2、只有一个要逆翻色；或者，3、7个角块色向都正确。
那么，第8个角块就不再有3个取向的权利了，对应于上述3类情况，这位老八要么要求逆翻色；要么要求顺翻色；要么也色向正确。即，不同的情况，它的取向可能性总是只有一种！否则，就出现不可复原态了。好在一个正确魔方的所有转出态都是可复原态，我们不必担心的。
所以，8个角块色向变化总数为3^7×1＝3^7 。

对棱块可作类似推论。

对魔方块的位置变化总数（要除以2）的问题，推论方法类似，但先考虑头6个角块，或头10个棱块，最后老七和老八角块，或老十一和老十二棱块一起来布排它们的位置态。得到（8×7×6×5×4×3×1×1）×（12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1）；或者得到（8×7×6×5×4×3×2×1）×（12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×1×1）。两者都归结为（8！×12！）/ 2 。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-10 17:18 编辑 ]

loink

多谢乌木先生
比如





上面那个例子，红蓝黄与红绿黄的色相就是相互限制

就像老八与前七个的关系

我的理解没错吧？

乌木

6楼最后一段的意思是，转魔方的方法改变这魔方块的位置态时，若棱块的位置态可以转换为有两个棱块交换来着，则角块老七老八的位置也只能是使8个角块可以转换为有两个角块交换来着（或者，若角块的位置态可以转换为有两个角块交换来着，则棱块老十一老十二的位置也只能是使12个棱块位置态可以转换为有两个棱块交换来着）；

若棱块的位置态可以转换为12个棱块位置都复原，则角块老七老八的位置也只能是使8个角块可以转换为8个角块位置都复原（或者，若角块的位置态可以转换为角块位置都复原，则棱块老十一老十二的位置也只能是使12个棱块位置态可以转换为都复原的）。

总之，无论角块还是棱块，8＋12＝20个魔方块的最后两个块，在用转魔方的方法改变各块的位置时，面对两个空位，可以有的布排方式不是2种，而是只剩一种了——具体哪一种要视前18个块的布排情况而定，准则是使魔方块就位置而言是可复原的。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-11 07:21 编辑 ]

乌木

对。其实，一个正确魔方的任一打乱态，都符合魔方状态的变换规律的，为了直观，可以把复杂混乱的状态转换为简单明了一些的状态来体现某一条规律，也是常用的方法。

乌木

8楼的啰嗦实在是吃力不讨好，试试换一种说法。

角块、棱块拆了再随机组装的话，就它们的位置变化而言的状态总数为8！×12！。
这些位置状态可以分为四类：
1、角块有偶数个偶循环，棱块也有偶数个偶循环；
2、角块有奇数个偶循环，棱块也有奇数个偶循环；
3、角块有偶数个偶循环，棱块却有奇数个偶循环；
4、角块有奇数个偶循环，棱块有偶数个偶循环。
这四大类的数目相等，都是（8！×12！）/ 4 。
角块的位置复原态和棱块的位置复原态都属于偶数个偶循环。
这里不必考虑奇循环，因为奇循环总是可以在角块内部（或棱块内部）转换为位置复原态，无须影响棱块（或角块）的。
第1类和第2类都是位置可复原态，即，属于一个正确魔方的位置可转出态。
第3类和第4类都是位置不可复原态，除非再拆了重新正确组装。
可见，一个正确三阶纯色魔方用转魔方方法所得的位置变化总数为（8！×12！）/ 2 。

这里没考虑块的色向变化问题，因为色向问题另外考虑了。这里说第一、第二类可复原只是指块的位置可复原！

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-11 08:16 编辑 ]