试解释三阶魔方4325亿亿个状态的由来

乌木

三阶纯色魔方（指中心块的色片只有颜色，没有文字或图案，故显示不出它们就地旋转与否的那种魔方）的状态变化数多达 43 252 003 274 489 856 000，即约4.325×10^19，或约4325亿亿。

获得此数的计算式之一为 8！×12！×3^8×2^12 /（2×3×2）。此式有个重要约定：六个中心块固定不动（即魔方不做整体翻滚动作），作为角块、棱块位置变化和色向变化的参照物。也就是说，如果魔方整体旋滚一下，不产生新的花样。（有的计算法无此约定，答案不同，另有用途。）

算式的分子部分8！×12！×3^8×2^12 就是拆下角块、棱块后，仍在中心块组不拆、不动的条件下，随机组装角块、棱块时可能获得的状态数。分别解释如下：

8个角块在8个位置中的随机组装方式（暂时只看位置变化，不管角块的色向变化，色向问题接下去另算）共有 8！种；
12个棱块（暂时只论位置变化，不计色向变化，棱块的色向问题下面另算）在12个位置**有12！种随机组装方式；
每个角块就地可以有3种颜色取向的装法，随机组装时8个角块因色向变化引起的不同状态共有3^8种；
一个棱块就地有2种颜色取向，随机组装时12个棱块因色向变化造成的状态变化总数就是2^12 。

现在要问，经过转动魔方层的方法布排角块和棱块（即不是上述拆下角块、棱块随机组装的方法），“同样的”魔方，状态变化的总数为何是 8！×12！×3^8×2^12 /（2×3×2）？只需对算式的分母部分解释如下：

（8！×12！）/ 2 －－上述的8个角块和12个棱块不同的位置变化总数到此要除以2的原因是，（8！×12！）这个数当然含有等价于单单互换两个块的排列方式，但是魔方转动的规律决定了现在无法单单互换两个块了，所以要除以2。也就是说，现在的变化不是上面那样地“随机”的了！

比如，头6个角块的布排方式有8×7×6×5×4×3种，第7和第8个角块面对2个空位，不再有2种排法了，要看当时头6个角块和12个棱块的布排情况如何，第7和第8个角块只能是两种布排之一，不可能是另一种。“选择”准则就是避免出现（如果复原起来，到最后）要单单互换两个块。
这样，当棱块的排列方式已经有12！时，8个角块的排列方式只有8×7×6×5×4×3×1×1。
或者，当角块已有8！种排列方式时，12个棱块只有12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×1×1 种位置变化。
两种等价的说法都表明现在的角块、棱块的位置变化数为 （8！×12！）/ 2 ，不是那么随机的了！
这里只需除以2，不能除以4。因为，“不能单单交换两个块”是不论角块还是棱块的。看看PLL公式，可以看到：1、没有单单交换两个块的！但是，2、两两角块交换或两两棱块交换还是可以的，两个角块并两个棱块交换也是可以的。
至于空心魔方的“特殊情况”－－“单单交换两个块”还是出现了，那是假象！须知，看不见的、但仍然顽强地起作用的中心块也有了变化。相对于参照物中心块而言，还是角块、棱块有了较复杂的变化，并非表观上的单单两个块交换了，看上去单单两块交换的说法不是相对于中心块而言的，却是相对于角块、棱块框架中的大部分块的状态而言的。偷换参照之后，人们容易产生误会了。

3^8 / 3 －－由于魔方转动变化的规律，现在不可能单单改变一个角块的色向，所以要除以3。
现在是转魔方的方法，当头7个角块的色向确定后，第8个角块的色向只能取其三种色向之一，不能取其另两种色向。第8角取向的准则就是避免出现（如果复原起来，到最后）要单单改变一个角块的色向。
可见，转动魔方时8个角块的色向变化所引起的魔方花样变化数为3×3×3×3×3×3×3×1 ，同样不那么随机的了！
所以，一个正确魔方，复原态也好，转乱态也罢，保持各角块的位置不变之下，任选一个角块，你不可能用转动魔方的方法，就地改变所选角块的色向而保持其余7个角块的色向都不变。

2^12 / 2 －－仿照关于“3^8 / 3 ”的解释，您自己说说看。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-6-11 21:41 编辑 ]

zhy3729

好！！ 我钟意 沙发先！

乌木

鉴于常常有人问这个问题，试着写这段小文字。估计问题不少，愿和各位同好探讨、交流，共同提高对此问题的理解。

一不死生

好东西！！顶一个！！

lgt

哇，真是惊人~！！

3595669260

好东西，顶一个再慢慢看

qq171614899

正想发问这个问题呢！呵呵，乌木可真是牛啊！

kexin_xiao

顶乌木老师，我自己也再学习一次！

yuanyonghui1616

看不懂，都怪自己的数学没有学好，有点复杂。。

乌木

你可以复习一下排列组合的有关内容。
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如果要进一步问普通魔方转动时为何在块的位置布局、角块的色向和棱块的色向方面有上述三大制约，我就说不清了。论坛有帖子阐述的，我是大多看不懂。

对于三阶，除了用1楼的思路解释外，还有更正规的、理论性更强的论述。据说，阶数更高时就无法用1楼的计算法了，要根据魔方理论来计算。可以到理论区看有关帖子。我1楼的解释中估计有不少概念是经不起魔方理论的挑剔的，故我是不敢贴到理论区去的。在此处先和各位在较低的层次上探讨探讨再说。