几何题1

石崇的BOSS

设P为△ABC外接圆周上任一点，P点关于边BC、AC所在直线的对称点分别为P₁、P₂．求证：直线P₁P₂经过△ABC的垂心H.

chuchudengren

这么多题，这个就是西姆森线的性质，以前看过证明所以大概复述下。
做PQ1垂直BC于Q1， PQ2垂直AC于Q2，AH延长交BC与D，圆于E。连Q1Q2,PE交与F，PE交BC与G，连HG，PB
<;PQ1Q2=<ABP=<AEP=Q1PE, so FQ1=FP,so F 为PG中点，<;PFQ2=2<AEP=<;PGH（易知HD=DE），所以GH平行Q1Q2，所以PH被Q1Q2平分，此等价于原命题。

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-9-16 14:43 编辑 ]

石崇的BOSS

你重新看一下字母，P₁和P₂是已知的点，改一下吧

[ 本帖最后由 石崇的BOSS 于 2010-9-16 14:34 编辑 ]

石崇的BOSS

∠PQ₁Q₂=∠ABP？？？？？
第一步就没有看懂


[ 本帖最后由 石崇的BOSS 于 2010-9-16 17:13 编辑 ]

superacid

∠PQ1Q2=∠ACP=∠ABP
两个四点共圆

石崇的BOSS

嗯，谢谢，继续看后面的证明……

superacid

chuchudengren学长好厉害啊，平面几何功力如此之强，我早已颓废

石崇的BOSS

∠PFQ₂=2∠AEP=∠PGH（易知HD=DE）
这里，点G为PE和BC的交点，但点G是否在P₁P₂上，需要证明吧？

chuchudengren

我似乎没有用到G在P1P2 上吧，我只是证的PH 中点在Q1Q2上。当然G确实在P1P2上。

回BQ，这是我看到过的证明，非我自己之力，谈何平几功力，惭愧。

石崇的BOSS

HD=DE是怎么证明的？另外，你这个命题和题目的结论有什么关系？请说一下