百思不解的乘法现象

邱志红

如题，那时我初中的时候，有一个人来我们学校推广一个叫什么速算法的。具体的记不清楚了

但有一点给了我很深的印象，就是他讲到快速验证相乘结果是否正确的时候用的方法。这个至今我还记得。

前提是整数相乘而且你算的结果偏差较小。

方法：1.把一个乘数各个位上的数字累加起来得到一个整数，再把这个整数各个位上的数字累加起来又得到一个整数，这样不停地累加直到最后的结果为 1位数。

          2.同样的方法施用于另外一个乘数。也得到一个1位数

          3.把上面两步的两个 1位数相乘得到的结果也累加直到 1位数为止

          4.同样的累加方法用于等式右边的结果直到 1位数为止

          5.比较等式左边与右边的最终结果是否相等

比如：583*192=111936

         左边： 583累加的结果为7，192累加的结果为3。结果相乘 7*3=21，21累加结果为3

         右边：111936累加的结果为3

在徒手运算的时候这样的验证方法是极快速的，而且有较高的成功率。

从数学的角度来说，这样的验算成立了，也只能算是一个必要条件，如果这个都不满足，你一定算错了。满足了该条件也不一定算对了。

其实我认为，这个问题最重要的地方并不在验证上，而是如何证明乘法的这种累加相乘关系。

为了方便描述就用[A]来表示把A各个位上的数字反复按上面方法累加得到1位数。

成立： 若A×B=C   则 [ [A]× ]=[C]

         整数乘法的这个关系太奇妙了，直到现在我还是百思不得其解，遂翻出来与大家共同研讨

        

[此贴子已经被作者于2007-1-17 10:44:07编辑过]

龚永明魔方

    11
   *11
---------
    11    =2*5.5
   110    =2*55=2*10*5.5
--------- =4=2+2=4
   121    =1+2+1=4

    12
   *12
---------
    24    =6*4
   120    =3*40=3*10*4
--------- =18=1+8=9
   144    =1+4+4=9

whitetiger

看到1楼的帖子，感到中国的数学教育真悲哀！

1、这是个验算方法，而非速算方法；

2、我是小学就知道了。小学的课外书上应该就提到这个方法，上课老师也会教。

问题不在什么时候学，而是要把原理说清楚。

楼主不知道，明显是因为当初知其然而不知其所以然。因为其中的原理，一说明白就不会忘了。

3、基本原理就是数论中的同余。

1）一个整数，与其各位数之和，关于9同余。也就是说，这两个数除以9的余数相同。

2）两个数相等的必要条件是它们同余。（关于哪个数同余没有关系。充分条件是它们关于任何数都同余。）

3）大多数整数运算中，可以直接进行同余运算。

a）加/减法、乘法，先运算再同余，与先同余再运算的结果应该是同余的。

b）乘方，先运算再同余，与先对底数同余再运算的结果应该是同余的。（这个在高中，有个二项式定理。）

c）除法，不能用同余。但当除数与同余的基数互质时，还是能知道商的同余值的。（当然要在能整除的前提下。）

进一步，对于任何固定进制的计算，这个方法总是成立的。

至于3的3个结论，其实大家自己都能简单证明的。

[此贴子已经被作者于2007-1-19 11:01:23编辑过]

邱志红

谢谢。现在终于明白了

现在教育就像你说的那样，唉

54cml

168×8924=1345654                                                              随便写的
168转换后是15、3
8924转换后是23、5
3×5=15转换后是6

1345654转换后是28、10、1
6不等于1
好像是真的耶！

顶顶

bbshanwei

老师怎么没有教我呢？？

kexin_xiao

好好学学,教给女儿!

斯芬克斯之谜

yq_118

3楼正解，用了点同余的知识，这只是必要条件。

oboe

虽然是个坟，但还是受教了。