石头剪子布概率题(大家探讨一下)

R'cube

相信石头剪子布大家小时候一定都玩过，例如：甲和乙进行该游戏，谁赢谁就往前走几步!
先从简单的开始吧，那么题目是这样的：

1.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，他们各自赢得对方的概率都是1/2，若甲获胜，则甲向前行走2米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?

2.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，甲和乙获胜的概率分别为2/3和1/3，若甲获胜，则甲向前行走2米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?

3.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，甲和乙获胜的概率分别为2/3和1/3，若甲获胜，则甲向前行走π米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?(曾经在百度数学吧看到的这第三题)

关于题目的解释，所谓首次是这个意思：比如乙从一开始就赢了甲，乙超过甲1米，游戏结束；又比如甲一开始赢了乙，那么乙需要连续赢得甲3次来超过甲；如果甲连续赢得乙2次，那么乙需要连续赢5次来超过甲。。。。到这里大家可能就发现了，这道题的概率是无穷项可能的情况叠加所得的和。。

正如大家所想的那样。。。这就是这道题最难的地方，鉴于第1题中他们各自取得胜利的概率是相同的，在中间比赛的时候，可以不考虑中间过程的排列组合问题。这是什么意思呢，我们拿甲赢得乙两次，乙赢得甲5次的情况来分析，为了保证这个情况的实现，可以有以下几种组合的情况：

①甲先赢乙一次，接着乙赢得甲一次，甲再赢乙一次，最后乙通过连续4次取胜来超过甲；
②甲直接先赢两次，则乙通过连续赢甲5次来超过甲
对于概率为1/2的时候，其实我们只要考虑总的情况就可以，永远是(1/2)^7，但是对于第二题而言，由于各自获胜概率不同，还要考虑到①②两种排列组合的概率。。。这就大大增加了难度

至于第三题，甲走的距离都出现了无理数π。。。那么可想而知乙要超过甲不再是简单的距离叠加来算了

第一题其实是很简单的。。2，3题非常有难度。。。大家可以互相探讨一下~~~~(打字累哦 )

R'cube

沙发么。。。也顺便拿下了~~~~~~

Zeon.C

正在思考中。。。有答案了再发

tw1123581321

Orz
LZ都搞这么高深的东西了

lulijie

用电脑模拟猜拳过程，猜拳最大次数限定为十万次。
共试验1000次，第一题乙能追上甲的次数为614次。概率约为0.614。
                          第二题乙能追上甲的次数为387次。概率约为0.387。
                          第三题乙能追上甲的次数为338次。概率约为0.338。

R'cube

貌似已经有人在思考了
呵呵。。。第一题应该还是蛮简单的。。后两题麻烦

Cielo

原帖由 lulijie 于 2009-1-29 16:24 发表
用电脑模拟猜拳过程，猜拳最大次数限定为十万次。
共试验1000次，第一题乙能追上甲的次数为614次。概率约为0.614。
                          第二题乙能追上甲的次数为387次。概率约为0.387。
                 ...

第一题里面，乙要能追上甲，第一次只能甲赢，所以概率不超过0.5吧？

原题要求“乙首次追上甲的概率”，我对这种表述也不太理解 ，难道是问“乙能追上甲的概率”吗？

R'cube

不是这个意思哦。。。第一次就赢甲只是所有情况里面的一种这是0.5的概率。。最后要加进去的

咖啡味的茶

第一道题也不简单阿

咖啡味的茶

并不能简单地证明阿