求数列通项公式（希望三种以上）

阿魔老叟

４、８、３、７、２、６、１、５、９、４、８、３、７、２、６、１、５、９、４、８、３、７、２、６、１…… 　　这是一个非常有特点的无限循环的数列，求通项公式。(注意，不能用取整函数，当然也不能用拉格朗日插值方式，呵呵呵，30多年前的一道数学题，目前有三种答案，不知道大侠们还有没有新的答案。

[ 本帖最后由 魔金 于 2011-12-12 12:11 编辑 ]

ZJY

483726159。。。

小明的马甲

一看离散周期序列果断dft秒杀不解释。

奇遇

原帖由 小明的马甲 于 2011-12-12 01:44 发表
一看离散周期序列果断dft秒杀不解释。

+1

hubo5563

an=((3+4n) mod 9)+1。

潜水艇

原帖由 小明的马甲 于 2011-12-12 01:44 发表
一看离散周期序列果断dft秒杀不解释。

虽然我不懂，但是看到这个ID就知道是正解了。

阿魔老叟

原帖由 hubo5563 于 2011-12-12 16:56 发表
an=((3+4n) mod 9)+1。

胡教授的思路是对的，但可能您没看清楚，首项是4，不是8，您的答案可以改为;f(n)=[3+4(n-1)]mod9+1，再简化一下就是：f(n)=(4n-1)mod9+1

这是一种新的解法，谢谢胡教授，有机会见面一定要请您吃饭。尚有3种简洁的方法。其中有2种也是这个思路的。但第3种的思路是完全颠覆的，是完全不需要mod的。


PS：呵呵，能答出这道题的几乎全是数学家或程序员。2006年9月我在博客里与一些朋友讨论过，其实我也不知道到底有多少种解法，就像我不知道魔方有多少种解法一样，我一直期待有更新与更简洁的解法。希望吧里感兴趣的朋友一起破解。

[ 本帖最后由 魔金 于 2011-12-13 02:33 编辑 ]

小明的马甲

其实我更好奇到底能用什么，不能用什么？比如不能用拉格朗日插值，那能不能用别的插值，函数都能用哪些之类的。。。

阿魔老叟

原帖由 小明的马甲 于 2011-12-13 02:33 发表
其实我更好奇到底能用什么，不能用什么？比如不能用拉格朗日插值，那能不能用别的插值，函数都能用哪些之类的。。。

其实最早在80年代出的时候这道题是没有什么限制的，但后来一些爱好者觉得不应该用普通人不熟悉的高等数学，建议用多数人都能快速理解的精确计算来给出答案。于是就限制了取整、插值等函数的计算。这样一来就增加了难度与趣味。有时越是简单的方法越是让人想不到，一旦想到了就是一种惊喜。

小明的马甲

其实有个很无聊的解。。。4 8 12 16。。。把数字的每一位加起来。。。如果还是非个位数就再把它的每一位加起来。。。就是那个数列了。。。