魔方吧·中文魔方俱乐部

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 魔方
查看: 496798|回复: 13
打印 上一主题 下一主题

求关于魔方的严格证明 [复制链接]

Rank: 1

积分
32
帖子
23
精华
0
UID
1266113
性别
保密
跳转到指定楼层
1#
发表于 2011-3-5 15:08:30 |只看该作者 |倒序浏览
最近在学习CFOP,给公式搞得焦头烂额。不过有一个额外的发现,也是一个问题一直困扰着我。
任意一个公式,不管是F,O,P。。。比如oll的F(RUR'U')F',都可以在魔方还原的情况下开始转有限次后回到原来的状态。这个问题我用数学证了好久也没有证出来。求高手指点。。

铜魔

冷血王

Rank: 8Rank: 8

积分
12477
帖子
8833
精华
4
UID
74604
性别

四年元老

2#
发表于 2011-3-5 15:15:00 |只看该作者
貌似是循环定理,以前论坛里的元老还讨论过
详细参考http://bbs.mf8-china.com/search.php ... sc&searchsubmit=yes

PS:你发帖发错区了。牛头不能对马嘴!下次请注意下。。。
魔方—无处不在
    魔方—无可取代


使用道具 举报

Rank: 2

积分
249
帖子
218
精华
0
UID
1258373
性别
3#
发表于 2011-3-5 15:17:46 |只看该作者
反证法,魔方总状态数有限,接下去自己想吧。

使用道具 举报

红魔

言佳足艮手戈匕匕悚负

Rank: 4

积分
1900
帖子
1625
精华
1
UID
106818
性别
兴趣爱好
理论

两年元老

4#
发表于 2011-3-5 15:22:48 |只看该作者
这个早已发现,而且比较有用,在转中心块朝向时,也是一个笨办法,至于证明嘛,待强人解决

使用道具 举报

Rank: 8Rank: 8

积分
7894
帖子
2948
精华
81
UID
4618
性别

论坛建设奖 十年元老

5#
发表于 2011-3-5 15:23:10 |只看该作者
原帖由 guilin088 于 2011-3-5 15:08 发表
最近在学习CFOP,给公式搞得焦头烂额。不过有一个额外的发现,也是一个问题一直困扰着我。
任意一个公式,不管是F,O,P。。。比如oll的F(RUR'U')F',都可以在魔方还原的情况下开始转有限次后回到原来的状态。这个问 ...


这个是群论的东西。
由于不管是什么魔方,转动魔方等于魔方的各个块的变换,因此其所有魔方的转动构成一个有限群。
根据有限群的拉格朗日定理,任意一个群元素的阶都是有限的,因此,总有一个数n存在,相同的n个转动等于恒等变换。
这就是说,不管什么魔方,不管什么公式,始终存在一个数n,从初始态做n次同样操作后就是初始状态。

使用道具 举报

Rank: 8Rank: 8

积分
18050
帖子
16478
精华
9
UID
449
性别

魔方理论探索者 论坛建设奖 爱心大使 十年元老

6#
发表于 2011-3-5 16:43:16 |只看该作者
楼主善于发现问题。此事像样的、严格的证明我不会,只能试试分析、推理一下。

假定任何一列步骤姑且都叫“公式”,执行一遍公式后,魔方没有散架,没有更换哪个块,原来那些块还都处于一个立方体中,只是生成了或多或少、或大或小的块的位置循环(位置有变化的话一定是循环!),循环内的块的色向或有变或没变。
任何状态分别经受同一公式后,一般而言结果总是不一样的,但是,由于公式是大公无私的,发生的变化模式一定是完全一样的!比如,任何状态做一下U,都是顶层四个角块和四个棱块同时四轮换,还有中心块自转90°,轮换时有关的角块、棱块保持原来的色向不变。
既然是有了各种循环,这些循环的大小总有一个最小公倍数n,做n遍公式后,各块的位置当然复原啦!各循环生成后,就像走马灯一样,在重复做公式时,循环内的成员不可能再调包的!此事乃是一个立体的、复式的走马灯在演示。
如果做一遍公式后,各循环内角块的色向和是3的倍数,或棱块的色向和是2的倍数,那么,在一遍一遍做公式后,各循环内的色向和也不可能改变,故n遍后各块位置和色向都复初了。
如果做一遍公式后,有的循环内角块的色向和不是3的倍数,或棱块的色向和不是2的倍数,由于同一公式造成的色向变化模式也是一视同仁的(比如,任何状态做一下F的话,总是有关的四角改变它们原来的色向,四棱也改变它们的原色向),且这里的色向变化也是有周期性的,要所有的块位置和色向都复原的话,只要做3n或2n遍公式即可。(如果少数循环要求3n遍或2n遍,多数循环只需n遍,那也没办法,此事不能少数服从多数,而要多数服从少数!因为此处探讨的是重复做同一公式的问题,不允许半途更换公式。)

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-3-5 17:01 编辑 ]

使用道具 举报

透魔

天空之城

Rank: 6Rank: 6

积分
6311
帖子
5891
精华
0
UID
36773

爱心大使 六年元老 十二年元老 十年元老

7#
发表于 2011-3-7 15:47:36 |只看该作者
这个具体证明还真不知道~~不过任何公式都可以~~
看看乌木的帖子~~学习一下~~~
继续SUB15中~~

使用道具 举报

Rank: 8Rank: 8

积分
7894
帖子
2948
精华
81
UID
4618
性别

论坛建设奖 十年元老

8#
发表于 2011-3-7 17:15:17 |只看该作者
-------------
    我们用F表示魔方的一个公式,a表示魔方的一种状态,用F(a)表示魔方状态a经过F变换后的状态。
    任何一个公式的反序列是存在的,这只要倒着做每一步的逆步骤即可,因此F的逆公式存在,我们用F-1表示。
假定a0表示魔方的初始状态,a1=F(a0)表示由初始态做一遍公式F后的状态,用a2=F(a1)=F2(a0)表示由初始态做两遍公式F后的状态,依次类推,用an=Fn(a0)表示由初始态做n遍公式F后的状态,这个公式对任何整数u和v以及魔方的任何状态x是成立的:
       F-u(Fv(x)=Fv-u(x)
       这表示魔方状态x做v次公式F,然后再做u次F的逆公式F-1,自然与从状态x做v-u次公式F相同。
       我们用反证法证明必有一个自然数m存在,使得am=a0。假定命题不成立,推出矛盾即可。
        由于魔方的总状态数是有限的,所以:
        a0,a1…,an,an+1
不可能是无限不重复的。假定在状态序列里,最小的k,和z是使得ak和az相等的,并且z>k那么,令m=z-k。
     既ak=az,也就是,Fk(a0)=Fz(a0)
     那么用F-1,同做等式两边的状态k次就是:
     F-k(Fk(a0)= F-k(Fz(a0)
由此推出:
     a0=Fz-k(a0)=Fm(a0)=am
     这样就可得到a0=am来,与假设矛盾。
因此这样的m是存在的。
     这里证明只用到魔方状态是有限的性质,因此,由于任何魔方的总状态数是有限的,所以任何魔方的任何公式都有这个性质。








[ 本帖最后由 hubo5563 于 2011-3-7 17:41 编辑 ]

使用道具 举报

Rank: 8Rank: 8

积分
18050
帖子
16478
精华
9
UID
449
性别

魔方理论探索者 论坛建设奖 爱心大使 十年元老

9#
发表于 2011-3-7 20:26:57 |只看该作者
问个问题。

不断做公式且永不停止,好像并不违反什么吧?
如果允许,那么,“ a0,a1…,an,an+1…”应该可以是无限的,对吗?
其中可以看到周期性复初:a0,a1axa0……a2xa0…,a3xa0……(x遍为公式的重复周期)。
这种无限和魔方的总态数有限不矛盾。
这里从a0到a1之间的状态数目(做公式时一步一态)则因公式步数有限而有限,且a0到ax之间因为没完成一个周期而没有重复。(此外,a1又和ax+1一样,…………等等,即“同相位”的态是一样的。)
如果a0到a1之间有非a0的重复态,那是公式本身有无效步骤,是另一问题,且不影响整个公式的周期性。

我这样想对吗?

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-3-7 21:22 编辑 ]

使用道具 举报

Rank: 8Rank: 8

积分
7894
帖子
2948
精华
81
UID
4618
性别

论坛建设奖 十年元老

10#
发表于 2011-3-8 07:56:37 |只看该作者
-   
        你说的对,我们只考虑一个公式的整体效果,不考虑做公式的中间状态,如果a0到a1之间有非a0的重复态,那是公式本身有无效步骤,是另一问题,且不影响整个公式的周期性。
我们可以这样考虑:
        从a0开始每做一次F,出一种状态ai,然后和前面比较检查是否和前面i-1个重复,如果不重复就继续做,由于魔方总态是有限的,所以不可能一直做下去,因此,必有某个m,使得am与前面的某个ak重复,假定m是第一次出现重复的最小正整数。我们可以断定k=0.也就是说a0=am。如果k≠0那么我们在等式两边各做F的逆公式k次,就会得到:


      a0=am-k,而m-k小于m,与m是第一次出现重复相矛盾。


所以,m是公式F的最小周期,a0和am-1是不会有任何重复的。







[ 本帖最后由 hubo5563 于 2011-3-8 08:20 编辑 ]

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

Archiver|手机版|魔方吧·中文魔方俱乐部

GMT+8, 2024-11-5 06:14

Powered by Discuz! X2

© 2001-2011 Comsenz Inc.

回顶部