一道求十倍角展开式系数的问题

三硝基甲苯

当初数学卷子上改编的。原题最后是把8次，6次和常数项系数给你了，然后剩下的还是一加一减
已知
cos(2a)=2cos(a)^2-1
cos(4a)=8cos(a)^4-8cos(a)^2+1
cos(6a)=32cos(a)^6-48cos(a)^4+18cos(a)-1
cos(8a)=忘了，这个就懒得现推了
然后假设cos(10a)=Acos(a)^10+Bcos(a)^8+Ccos(a)^6+Dcos(a)^4+Ecos(a)^2+F
求A-B+C-D+E-F的值。
原题老师的解法是找规律，把未知系数凑出来。

我想了一个非常纠结的方法，令cos(a)=i
然后算出来一个a的值是pi/2+ln(1+sqrt(2))i
两边同时带入，右边是要求的数的相反数，左边一坨，
最后只要求cosh(ln(1+sqrt(2))*10)的值就行了，用定义代回去，二项式定理打开，得到10C0*1+10C2*2+10C4*4+10C6*8+10C10*16=3363
就是这个答案了。(正负号不记得了)

有没有什么好一点的解法？这个解法我们同学理解不了




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顺便提一句，那个cosh(x)什么的怎么读啊？

[ 本帖最后由 三硝基甲苯 于 2012-4-15 15:22 编辑 ]

Cielo

设 cos(a)=i，sin(a)=√2，
cos(2a)=-3，sin(2a)=i2√2
cos(4a)=17，sin(4a)=-i12√2
cos(8a)=577，sin(8a)=-i408√2
cos(10a)=-3 x 577-(i2√2) x (408√2)=-3363

lulijie

利用棣莫弗公式 来计算
(cosθ+i*sinθ)^k=cos(kθ)+i*sin(kθ)
(cosθ-i*sinθ)^k=cos(kθ)-i*sin(kθ)
cos(kθ)=1/2*((cosθ+i*sinθ)^k+(cosθ-i*sinθ)^k)
k为偶数时，虚数部(二项式展开式的奇数项)全部消除，4倍数余2项的系数为负。
cos(10θ)=((cosθ)^10-C(10,2)*(cosθ)^8*(sinθ)^2+C(10,4)*(cosθ)^6*(sinθ)^4-C(10,6)*(cosθ)^4*(sinθ)^6+C(10,8)*(cosθ)^2*(sinθ)^8-(sinθ)^10)
设x=(cosθ)^2
那么(cosθ)^10-C(10,2)*(cosθ)^8*(sinθ)^2+C(10,4)*(cosθ)^6*(sinθ)^4-C(10,6)*(cosθ)^4*(sinθ)^6+C(10,8)*(cosθ)^2*(sinθ)^8-(sinθ)^10=x^5-C(10,2)*x^4*(1-x)+C(10,4)*x^3*(1-x)^2-C(10,6)*x^2*(1-x)^3+C(10,8)*x*(1-x)^4-(1-x)^5
设f(x)=x^5-C(10,2)*x^4*(1-x)+C(10,4)*x^3*(1-x)^2-C(10,6)*x^2*(1-x)^3+C(10,8)*x*(1-x)^4-(1-x)^5
楼主所求的就等于-f(-1)=1+C(10,2)*2+C(10,4)*2^2+C(10,6)*2^3+C(10,8)*2^4+2^5＝3363

[ 本帖最后由 lulijie 于 2012-4-15 18:24 编辑 ]