[原创]奇异的内外不一致现象及其相关讨论

邱志红

内外不一致现象及其相关

最近，我的模型又发挥了作用，发现了许多新奇的现象。比如：高阶魔方存在内外不一致现象。

就拿四阶魔方来举例吧。前提是你已经看过我的帖子《方形魔方的一般模型》，知道我的转动描述法。

将一个初始状态的四阶魔方施行 Y2,Z2-,Y3,Z2,Y2-,Z2-,Y3-,Z2 的操作（操作后面的“ - ”是表示“逆”，即 -1 次方的意思）。那么内部的一个二阶魔方就被动的施行了 Y1,Z1-,Y2,Z1,Y1-,Z1-,Y2-,Z1 的操作。

结果就是下面的这个样子。截图来自游戏 Puzzle2.05 ，各位可以将颜色排列调到如图的方式（红的对面是橙，绿的对面是蓝，黄的对面是白），然后在 Puzzle2.05 里面试一试。可惜在这张图上面看不到背面。但已经显示出了差异，表面还原了而内部却没有还原 。

由于是在 Word 里面做的，要用到公式编辑器。那样公式要当图片处理，这样又会出现上次发帖子时的那种尴尬（上次有 230 多张图片要贴）。

我是个很严谨的人， 但这里我省略了公式验证，请多见谅。

上一贴中有我关于魔方转动的描述法。这里我有一点要补充的： n 阶魔方中，一个转动 Xn 中的 n 表示该转动是针对 X 正方向第 n 层的（这里暂且不论是怎么转的）。大家都知道其实就是 X 正方向的最后一层。所以我补充一点：也可以将该层记为 X- 1 。（也暂且不论是怎么转的）。

同样的道理 X 正方向的 n-1 层就是 X 负方向的 -2 层。那么一般的有： X 正方向的第 t 层就是 X 负方向的 [t- （ n+1 ） ] 层。即 Xt 等同 X[t- （ n+1 ） ] 。

同样的道理 Y 方向和 Z 方向也是如此。总结一下就是，关于转动操作的下标， t 与 [t- （ n+1 ） ] 是等同的，是针对同一层的。不明白的可以看上面的图。它是我从电脑键盘的 Tab 键上面得到灵感而想出来的。

上面四阶的操作 Y2,Z2-,Y3,Z2,Y2-,Z2-,Y3-,Z2 就可以记为 Y 2 ,Z 2 - ,Y -2 ,Z 2 ,Y 2 - ,Z 2 - ,Y -2 - ,Z 2 。 这样才看得出来 Y 方向转动的两个层是对称的两个层。

有了上面的补充作铺垫，就有下面的东西了。一般的高阶魔方施以以下的转动。下面式子中的 U 和 V 分别代表 X ， Y ， Z 中的两者，这样就有一般性。

U t ,V t -,U- t ,V t ,U t -,V t -,U- t -,V t.

就会发现该操作是仅针对魔方的第 t 个层次的。而对其 内部及外部 的层次没有影响。我现在还没有时间去证明（其实就是将该操作代进去验证而已），其具体表现大家是能很容易理解的。拿一个高阶的试一下就能理解了。

而其对称的操作

U- t ,V t ,U t ,V t -,U- t -,V t ,U t -,V t - .

也是仅针对魔方的第 t 个层次的。而对其 内部及外部 的层次没有影响。上述的 t 是自然数。 t=1 的时候也成立，即该方法此时只影响最外层。

魔方层次的概念

这里提到了魔方的层次的概念，我解释一下。假设魔方小块的边长为一个单位。 n 阶魔方表层厚度为 1 的一层为魔方的第一个层次。其内部包含一个（ n-2 ）阶的魔方。这个（ n-2 ）阶的魔方表层厚度为 1 的一层为魔方的第二个层次。依次类推就有第 t 个层次的概念。

这些层次是一层包一层的，就象洋葱一样。 2n 阶的魔方有 n 个层次， 2n+1 阶的魔方有 n+1 个层次。

魔方内外不一致现象的发现以及魔方层次的定义使我想到了魔方完全复原的问题。一般人对魔方的复原理解为魔方表面的复原。而其对应的状态定理也只能称为魔方表面颜色排列定理。而对内部的小块没有考虑，也没有考虑魔方各层次之间的联系。这就是忍冬极近完美的 N 阶魔方状态定理的是一大缺憾啊。真切地希望忍冬继续努力弥补这个缺憾。使 N 阶魔方状态定理变为 N 阶魔方 完全 状态定理，包含内层的状态及内外各层之间的联系。

这样大家就可以发现 魔方各层次是相对独立的 。就象三阶魔方的角块，棱块和中心块一样是相对独立的。

至于魔方的完全复原应该包括外层和各个内层的复原，即魔方各层次都复原。至于方法，上面的操作就是原则上面的一种方法，但只能做很简单动作。如果将 V 方向的 t 换为一般的层 p ，即

U- t ,V p ,U t ,V p -,U- t -,V p ,U t -,V p - 或 U t ,V p -,U- t ,V p ,U t -,V p -,U- t -,V p

则就可以做比较复杂的动作。因为可选的层很多，而它们之间又可以互相迭加和重复操作，还有对称变换和旋转变换等。应该足够完成某一个层次的复原而不影响内部 或 外部的层次。其规律如下：由于诸多原因我就没证明了（其实就是将该操作代进去验证而已），请各位多多包涵。

当正方向看 p 大于等于 t ，同时负方向 p 又小于等于 -t 的时候。该操作将不会影响小于 t 的层次，而有可能影响大于等于 t 的各个层次。

当正方向看 p 小于等于 t ，同时负方向 p 又大于等于 -t 的时候。该操作将不会影响大于 t 的层次，而有可能影响小于等于 t 的各个层次。

上面的就是我的两种复原方法。第一种先复原表层，先不管内部的变化。然后依据第一条令 t=2 ，此时的操作要求正方向看 p 大于等于 2 ，同时负方向 p 又小于等于 -2 。这样就不会影响 t 小于 2 的层次，即不会影响第 1 层。而有可能影响大于等于 2 的各个层次，利用 p 的多种取值加上各种变换。就可以还原第 2 个层次，注意此时是不管内部的层次的变化的。然后令 t=3 。此时的操作要求正方向看 p 大于等于 3 ，时负方向 p 又小于等于 -3 ，这样就不会影响 t 小于 3 的层次，即不会影响第 1 层和第 2 层 , 利用 p 的多种取值加上各种变换。就可以还原第 3 个层次，也不管内部的层次的变化的。依次类推就可以从外到内达到所有层次的复原。

第二种方法是类似的，与之刚好相反，是从内向外复原的。我就不多说了，大家应该能理解。

总的来说 p 取值的时候是以 t 或 -t 为临界值的。当正方向看 p 大于等于 t ，同时负方向 p 又小于等于 -t 的时候。该操作将不会影响小于 t 的层次，而有可能影响大于等于 t 的各个层次。而当正方向看 p 小于等于 t ，同时负方向 p 又大于等于 -t 的时候。该操作将不会影响大于 t 的层次，而有可能影响小于等于 t 的各个层次。而两者的交集， p 等于 t 的时候，就刚好只影响第 t 个层次。这与开始提出的操作及其效果是一致的。

最后有一点要说，我是一个学数学的人。系统，全面，普遍是数学的最大追求。上面的问题可能并没有实际价值，但从数学的角度来说，是很有必要的。因为只有魔方所有层次复原才是真正意义上的魔方的复原。希望大家能理解。

大家最好都去试一下，就用 Puzzle2.05 同时开几个游戏就行了。为了验证最好选择阶数比较高的魔方，当然也可以用我的模型提供的方法进行验证。

更希望有人能将我复原的思想转化为具体的方法。我现在只是原则上面谈了一下而已，希望能为整理具体的方法起指导作用。

还希望忍冬继续努力以 N 阶魔方状态定理为基础，把它改进成为 N 阶魔方完全状态定理，因为现在的 N 阶魔方状态定理已经不能解释上述现象了。

邱志红

2005-5-31

[此贴子已经被cube_master于2005-5-31 20:35:53编辑过]

乌木

建议以后（国内外）魔方赛高级项目增加这一要求。把选手的复原步骤交由评委经电脑判断“内核”是否也复原了。
也许这种赛项不能讲速度（最多给定时间上限），以便记录步子。
对了，条件成熟时，mf8应有英文版，便于老外浏览。

[此贴子已经被作者于2005-5-31 21:58:22编辑过]

邱志红

忍冬啊：

我最近的发现对你的N阶魔方状态定理提出了挑战。你的定理存在极大的不足。对魔方内部小块的状态缺少描述，当然也缺少魔方各个层次小块之间的关系。而我已经发现了魔方各个层次之间得到相对独立性。并给出了相对应的操作序列。而且是具有一般性的操作序列。你觉得你的定理是否应该作一些改进呢？否则你的定理只能叫N阶魔方表面颜色排列定理。而不是真正意义上的N阶魔方状态定理。真正意义上的N阶魔方状态定理应该包含魔方所有小块之间的联系及其可能的状态。

[em05]

乌木

高阶低阶是相对的，对2阶来说，3阶是高的。更高阶的性质能否在低阶体现？
能否认为3阶内核是一个单元立方块，若假定其六个面与外面相应的六个中心块同步旋转，（即内核的六个面相互可独立旋转，）则中心块有方向性的3阶魔方，其中心块的方向也反映了内核相应面的方向，这样，内外是一致的。
若无上述假定，则外面中心块与内核相应面之间只能无任何关系，则3阶魔方内外就谈不上一致不一致。
总之是3阶的内外非不一致的，与您的话题不合。这差一阶就大不同，为何？毕竟3阶的还可算有内核的呀。
当然，上面您的文章我还没完全搞懂，甚至没仔细看（对不起），很可能我说得不对。别见怪，并请指点。

[此贴子已经被作者于2005-5-31 22:33:03编辑过]

pengw

以下是引用邱志红在2005-5-31 21:10:36的发言：

忍冬啊：

我最近的发现对你的N阶魔方状态定理提出了挑战。你的定理存在极大的不足。对魔方内部小块的状态缺少描述，当然也缺少魔方各个层次小块之间的关系。而我已经发现了魔方各个层次之间得到相对独立性。并给出了相对应的操作序列。而且是具有一般性的操作序列。你觉得你的定理是否应该作一些改进呢？否则你的定理只能叫N阶魔方表面颜色排列定理。而不是真正意义上的N阶魔方状态定理。真正意义上的N阶魔方状态定理应该包含魔方所有小块之间的联系及其可能的状态。

[em05]

邱志红的从模型推广的角度,的确极具数学意义,为什么N阶定律要表达成当前的形势,有以下理由:

1.即便你的色子模型的角度,魔方状态是由色子运动及色子外表面方向构成,而非你强调的颜色

2.即是从色子模型的角度,色子外表面永远不会转成内表面,因而对任意色子外表面的描述就足以描述一个色子的状态.因此,在鲁毕克魔方上,色子模型通过转动对状态的表达与N阶定律基于规则对状态的预言等阶.

3.N阶定律完全适合对任意内层的精确描述,从2阶到N阶可以轻易预言任意状态,这是可实证的.

4.当前成熟的模型有多种,其中PUZZLER就是其中一种.这些模型只能通过转动来表达状态,而无法脱离转动来预言状态,即只能被动地遇,不能主动地预.

5.严格地说,当前所有的模型是转动模型,而非规则模型,即无法由这些模型导出N阶定律包含的所有基本规则,这也是这些模型最大的问题,即无法正确预言转动未到达的状态.而N阶定律可以不依赖任何模型就可实现对状态的预言,这已由无数事实所证实.

7.N阶定律设计的目标就是对N阶魔方状态的预言,其准确性通过诸如对状态数,公式循环原理等特征事物的正确表达而被实证.

8.虚拟内层具有数学的一般性意义,但无实体构造及操作相关的意义,即是工艺构造可行,各层状态必遵守N阶定律,内部虚拟魔方的复原方法,可以通过简单的分析来完成. 毕竟大家玩的是魔方实体而不是纯数学.

9.其实,N阶与N阶以下各阶魔方间的状态不能相互独立,见楼下的反证举例.此外N阶定律在你的这个问题上不是需要改进,而是加强应用举例:

http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=1073&page=1

10.邱兄弟,怒我直言,你的模型作为可使用的正确转动模型中,数学表达较好的一种(PUZZLE模型与你的模型在魔方角度等价),尚不能对一般性状态规则作出预言或推导,如扰动规则,环规则,色向规则等.因此不能直接指导玩家的操作,因而就性质而言,仅仅是对实体的运动的模拟,在玩家眼中跟一个实体魔方在逻辑上等同,相信经过邱兄弟的努力,一个可推导规则的模型将被发展出来.

11.总之,邱兄弟的模型在李教授的基础上,吸纳了一些重要性质(中心块描述),经更一般性的表达,较之前者有质的飞跃.

以上只是忍冬的个人观点,邱志红的数学推广及一般性表达的确极具专业素质,值的大家借签.

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忍冬

[此贴子已经被作者于2005-6-4 8:55:59编辑过]

乌木

又想到：从态A出发，做某个公式G使N阶魔方外面复原时，内核不在复原态（未到或过头），无论如何，就公式G而言，不断做下去的话，外壳呈周期性变化，周期为T；同时内核应也有周期性变化，周期为t。两者该有个最小公倍数M。在此，内外同时复原。G应不止一种，选得好，T就短；但相应的t和M如何，尤其是M，是大是小，我想不下去了。（g老师，以上说得对否？这些与循环变换有关吧？你们谈循环变换时考虑内核了吗？是新课题吗？）
所以，上面设想的魔赛新项目，的确（好像绍兴人发音近似di ko ，对否？这儿有绍兴魔友吗？）要设置适当时限啊！
对了，TV中常见活人身上贴若干个感应器，电脑屏幕上虚拟人同步装腔作势。有朝一日这技术移植到魔方上，该可以自动记录操作步骤的吧？即使用于做那些“x月x日题目”等等也是好帮手。
报载新加坡某大学在魔方中装了什么电子元件用于教学，好像转对的话，题目答案就怎么怎么的。看过忘了，哪位能说得清吗？
吧中介绍的内设灯光的魔方有点接近上述设想或报道了。

[此贴子已经被作者于2005-6-1 11:20:52编辑过]

邱志红

对不起，我忘了讨论奇数阶魔方的最内层的情况。它是个特例，但我的公式里面是不含这种情况的。因为V t与V -t相等是没有意义的。V t与V -t应该是两个对称的层，才能应用上面的公式。

当然时间仓促，难免会有纰漏。还望各位多多批评指正。

ggglgq

呵呵，“循环变换”可以依据“各类魔方”随意定制。当然包括这位理论派 MM
提出的内外结构一致“循环变换”！

下面请大家参考我在“魔方循环变换理论概述”的有关说明。

以下是引用ggglgq在2004-9-4 22:10:51的发言：

hw294:
或许你还没有特别注意我前面提到的魔方“傻瓜遍历序列”算法中的
“魔方”指的是“任意魔方”。它对任意魔方均适用。
换言之，你所提到的“能否先退一步，找到一个序列，用傻瓜转法先
转出八个角到正确位置”仅仅是在“正六面体的三阶魔方”基础上退化为
“正六面体的二阶魔方”，我的方法仍然适用这种退化成的“正六面体的
二阶魔方”，即“八个角的正六面体的三阶魔方”。
同理，我们可以定义“正六面体的二阶魔方”的任意四个角或三个角
或......的魔方为一种“你想象魔方”，我上面提到的这个通用算法对于
“你想象魔方”同样适用。

我前面提到的魔方“循环变换”中的“魔方”指的也是“任意魔方”，
不仅“正六面体的三阶魔方”存在循环变换，你所说的“正六面体的二阶
魔方”，即“八个角的正六面体的三阶魔方”也存在循环变换，等等......
因此我对“正六面体的三阶魔方”特别提出“边循环变换”、“角循环变换”
概念，以增加读者对 [魔方“循环变换”] 的理解，这是两个特别典型的
“你想象魔方”的例子。
有关“正六面体的三阶魔方”提出的“边循环变换”、“角循环变换”
的例子，请参阅 [原创]我来玩玩“正六面体三阶魔方”－－－《循环公式》。

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下面还是这样引用我在 2005-01-03 11:05 的发言吧，可能对大家理解
“依据各类魔方随意定制（循环变换）”有所帮助！

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有关“循环变换”的移植问题（xinru 问题）的思考

多谢 xinru 先生提出的“循环变换”的移植问题，这个问题我曾经考虑过一段时间。
我原本想把这一问题留给大家去做进一步的思考，希望出现更多的诸如“大烟头 公式”、
“xinru 问题” 等等，这肯定比直接给出个别结论要好得多！
不过，考虑到大家对“循环变换”问题不是很了解，还是先由我给大家提供些线索及
思路，然后大家再集思广益吧。
1.在五阶魔方中间用是“循环变换”的，在三阶魔方中却不是“循环变换”：
同以前的角公式在五阶魔方中间用：

以下是引用ggglgq在2004-12-17 18:10:35的发言：

呵呵，cube_master 的 10、11、12 楼几个角公式在五阶魔方中全是严格的“循环变换”！！！
说明 cube_master 运用“循环变换”厉害呀！
下面仅举 cube_master 的 11、12 楼两例说明（以方便读者阅读浏览）：

  
  
  




  
  
  

真是奇特有趣，这到底是怎么一回事呢？欢迎广大魔方爱好者讨论解答！

以下是引用cube_master在2004-12-16 13:17:27的发言：




  
  
  



  
  
  

2.在三阶魔方中是“循环变换”的，在五阶魔方中间用却不是“循环变换”：

  
  



  
  

3.下面再给出一个在五阶魔方中间用是“广义循环变换”，但在三阶魔方中却不是
“广义循环变换”，反之亦然。那么下面的这个在五阶魔方中间用是“广义循环变换”的
长度是多少呢？不妨请大家数数看：

  
  



  
  

邱志红

注意：我提供的公式可不是一个公式，是一组公式。U和V是可以为X，Y，Z中的任何两个。就有6种排列组合。而且t和p是可以取很多值的。所以不是一个公式而是一组公式。这一组公式内部再进行排列组合，那就是不小的一个数啊。就可以做很复杂的动作了。

pengw

以下是引用邱志红在2005-5-31 20:25:47的发言：

内外不一致现象及其相关

我认为,只是说明一种逐阶复原的方法,但推论:各阶状态相互独立是不成立的,以下是一个反证:

举一个例子,四阶一个内层转90,导致二阶表层转90,此时四阶仅限于表层操作是无法还原的,这说明二阶影响了四阶的状态


且文章并没有表达清楚嵌套魔方整体上的簇间关系.不妨参考:

http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=1073&page=1

[此贴子已经被作者于2005-6-4 9:01:40编辑过]